ALGORITMO DI GRAM-SCHIMDT

[fifaessi]

Salve, mi servirebbe un chiarimento per quanto riguarda la diagonalizzazione delle forme quadratiche. Quando utilizzo l'algoritmo di Gram-Schimdt non ho ben chiaro quali vettori utilizzare.
Ad esempio un esercizio mi chiedeva di diagonalizzare la seguente forma quadratica:
$Q(x)=x_1^2-2x_1x_2+x_1x_3$
Quali sono i vettori da usare nell'algoritmo? I vettori della matrice associata o quelli della base canonica?

[Magma1]

Cosa sono i vettori della matrice associata?

Comunque inizia scrivendoti la matrice della forma quadratica.

[fifaessi]

"Magma":Cosa sono i vettori della matrice associata?

Comunque inizia scrivendoti la matrice della forma quadratica.

Si già fatto.
La matrice associata è:
$Q=((1,-1,1/2),(-1,0,0),(1/2,0,0))$
Ora per calcolare i nuovi vettori, innanzitutto, vedo se $q(e_1)\ne 0$, nel nostro caso è diverso quindi
$e_1^{\prime}=e_1=(1,0,0)$
$e_2^{\prime}=e_2-()/()*e_1^{\prime}$
Non riesco a capire che vettori mettere per calcolarmi questo $e_2^{\prime}$ e anche i successivi.

[Magma1]

"dotor46":
La matrice associata è:

$Q=((1,-1,1/2),(-1,0,0),(1/2,0,0))$

Ora per calcolare i nuovi vettori, innanzitutto, vedo se $q(e_1)\ne 0$, nel nostro caso è diverso quindi

$e_1^{\prime}=e_1=(1,0,0)$

$e_2^{\prime}=e_2-()/()*e_1^{\prime}$

L'algoritmo è giusto. Forse ti confondi con il prodotto scalare: in questo caso non è quello standard; infatti

$ =e_2^T Q e'_1=(0,1,0)((1,-1,1/2),(-1,0,0),(1/2,0,0)) ((1),(0),(0))$

[fifaessi]

"Magma":[quote="dotor46"]
La matrice associata è:

$Q=((1,-1,1/2),(-1,0,0),(1/2,0,0))$

Ora per calcolare i nuovi vettori, innanzitutto, vedo se $q(e_1)\ne 0$, nel nostro caso è diverso quindi

$e_1^{\prime}=e_1=(1,0,0)$

$e_2^{\prime}=e_2-()/()*e_1^{\prime}$

L'algoritmo è giusto. Forse ti confondi con il prodotto scalare: in questo caso non è quello standard; infatti

$ =e_2^T Q e'_1=(0,1,0)((1,-1,1/2),(-1,0,0),(1/2,0,0)) ((1),(0),(0))$

[/quote]

Quindi il prodotto scalare nell'algoritmo di Gram-Schimdt è sempre così? Mai quello standard?
Devo considerare i vettori della base canonica $(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$ per intederci e devo considerare anche la matrice associata alla forma quadratica per il prodotto?
E il risultato di questo primo prodotto scalare sarebbe $0+0+0-1+0+0+0+0+0=-1$

[Magma1]

"dotor46":
E il risultato di questo primo prodotto scalare sarebbe $ 0+0+0-1+0+0+0+0+0=-1 $

Comunque il prodotto scalare $< , >$ su uno spazio vettoriale $V$ è:

1) Bilineare
2) Simmetrico
3) Positivo

inoltre ogni matrice simmetrica e definitiva positiva induce un prodotto scalare

$ =u^T A v=(u_1, ..., u_n)A((v_1), (vdots ),(v_n)); AA u, v in V$

Se $A=I_n rArr =(u_1, ..., u_n)I_n((v_1), (vdots ),(v_n))=(u_1, ..., u_n)((v_1), (vdots ),(v_n))=sum_(i=1 )^n u_iv_i$.

Quindi non è un'eccezione dell'algoritmo di Gram-Schimdt, ma dipende dalle proprietà del prodotto scalare.

[fifaessi]

"Magma":[quote="dotor46"]
E il risultato di questo primo prodotto scalare sarebbe $ 0+0+0-1+0+0+0+0+0=-1 $

Comunque il prodotto scalare $< , >$ su uno spazio vettoriale $V$ è:

1) Bilineare
2) Simmetrico
3) Positivo

inoltre ogni matrice simmetrica e definitiva positiva induce un prodotto scalare

$ =u^T A v=(u_1, ..., u_n)A((v_1), (vdots ),(v_n)); AA u, v in V$

Se $A=I_n rArr =(u_1, ..., u_n)I_n((v_1), (vdots ),(v_n))=(u_1, ..., u_n)((v_1), (vdots ),(v_n))=sum_(i=1 )^n u_iv_i$.

Quindi non è un'eccezione dell'algoritmo di Gram-Schimdt, ma dipende dalle proprietà del prodotto scalare.[/quote]

Non intendevo che fosse un'eccezione, intendevo dire che bisogna farlo così sempre, e ora mi hai anche spiegato il perchè.
Grazie mille per la spiegazione dettagliatissima.

[fifaessi]

"Magma":[quote="dotor46"]
E il risultato di questo primo prodotto scalare sarebbe $ 0+0+0-1+0+0+0+0+0=-1 $

Comunque il prodotto scalare $< , >$ su uno spazio vettoriale $V$ è:

1) Bilineare
2) Simmetrico
3) Positivo

inoltre ogni matrice simmetrica e definitiva positiva induce un prodotto scalare

$ =u^T A v=(u_1, ..., u_n)A((v_1), (vdots ),(v_n)); AA u, v in V$

Se $A=I_n rArr =(u_1, ..., u_n)I_n((v_1), (vdots ),(v_n))=(u_1, ..., u_n)((v_1), (vdots ),(v_n))=sum_(i=1 )^n u_iv_i$.

Quindi non è un'eccezione dell'algoritmo di Gram-Schimdt, ma dipende dalle proprietà del prodotto scalare.[/quote]

Mi trovo, ho risolto tutti i miei dubbi. Però ho un problema, se trovo la forma canonica in questo modo e con il metodo della diagonalizzazione i risultati dovrebbero essere diversi o uguali?

[Magma1]

Non ho capito quali risultati debbano essere uguali...

[fifaessi]

"Magma":Non ho capito quali risultati debbano essere uguali...

La formula ridotta.