AlgLin: Somma Diretta

[carol63]

Ciao a tutti.
Poiché ho l'esame di Algebra Lineare a Gennaio, ho iniziato ieri a fare i compiti del mio professore degli scorsi anni. Nonostante io abbia sempre studiato e fatto gli esercizi, c'è un quesito che mi blocca; spero che voi mi possiate aiutare.

Posto \(X= \ x \in R^3 : 3x_1-6x_2-4x_3=0 \) e \(\ Y=Span (3e_1-2e_2+5e_3) \) , determinare la proiezione di \(\ e_2 \) su \(\ X \) rispetto alla decomposizione \(\ R^3= X \oplus Y \)


è proprio quella \(Y \) che mi fa uscire matta.
Sono proprio disperata!!!!
Grazie infinite a chi mi potrà aiutare

[carol63]

mmm, insomma, perché fino al fatto di trovare delle basi c'ero arrivata. Non capisco che devo fare per trovare la proiezione di \(e_2 \).

[carol63]

Allora dunque.
io ho messo a sistema
\(\alpha (3,-2,5) +\beta (2,1,0) + \gamma (4, 0,3) = (x_1,x_2,x_3)\)
ho trovato
\(\alpha=3x_1-6x_2+4x_3 \)
\(\beta=2x_1-11x_2+8x_3 \)
\(\gamma=-5x_1+10x_2-7x_3 \)
e poi ho sostituito al sistema di partenza \(\alpha, \beta e \gamma \), trovando così

\((3x_1-6x_2+4x_3) \)\( (3,-2,5)\) +\((2x_1-11x_2+8x_3) \)\((2,1,0) + \) \((-5x_1+10x_2-7x_3 ) \)\((4, 0,3) \) \(= (x_1,x_2,x_3) \)

come la trovo la proiezione di \(e_2 \) su \(X \) ??? (che è quello che mi chiede l'esercizio)

[carol63]

aaaaaaaaaaaaaah. finalmente!!!!!!!! Grazie mille, grazie per la disponibilità.
no no no. per fortuna la proiezione ortogonale non è nel programma. almeno per ora!!!