AlgLin: se A > 0, |A| \ne 0. Se A è pure simm, |A| > 0
Siano $n \in \mathbb{Z}^+$ e $A \in M_n(\mathbb{R})$ una matrice reale di ordine $n$. Mostrare che i) se $A > 0$, allora $|A| \ne 0$; ii) se $A > 0$ e $A^t = A$, allora $|A| > 0$.
Risposte
Dai provo anche questo...
i) $|A|!=0 <=> Ker(A)={0}$
quindi si vuole verificare $Ax=0 <=> x=0$.
Una freccia è ovvia, per l'altra supponiamo $Ax=0$ con $x!=0$. Mettendo il tutto nella definizione di matrice definita positiva si ha $x^t*0>0$. contraddizione.
ii) se la matrice è simmetrica è diagonalizzabile con autovalori reali (teorema spettrale). Se gli autovalori sono tutti positivi siamo a posto (il determinante è il prodotto degli autovalori con relativa molteplicità). Prendo $lambda$ autovalore e $x$ le coordinate di un suo autovettore... inserendolo nella definizione di matrice def positiva si ha $x^t*x*lambda>0$, da cui $lambda>0$, che è quello che ci serviva.
i) $|A|!=0 <=> Ker(A)={0}$
quindi si vuole verificare $Ax=0 <=> x=0$.
Una freccia è ovvia, per l'altra supponiamo $Ax=0$ con $x!=0$. Mettendo il tutto nella definizione di matrice definita positiva si ha $x^t*0>0$. contraddizione.
ii) se la matrice è simmetrica è diagonalizzabile con autovalori reali (teorema spettrale). Se gli autovalori sono tutti positivi siamo a posto (il determinante è il prodotto degli autovalori con relativa molteplicità). Prendo $lambda$ autovalore e $x$ le coordinate di un suo autovettore... inserendolo nella definizione di matrice def positiva si ha $x^t*x*lambda>0$, da cui $lambda>0$, che è quello che ci serviva.
Già, un classico.
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