Algebre di Lie
Ciao.
Qualcuno riesce a capire come fare questa dimostrazione?
L'idea è che uno ha una collezione di sei operatori antihermitiani $M_(\mu \nu) = - M_(\nu \mu )$ che soddisfano la seguente algebra
$[M_(\mu \nu), M_(\rho \sigma)] = -g_(\mu \rho) M_(\nu \sigma) + g_(\mu \sigma) M_(\nu \rho) + g_(\nu \rho) M_(\mu \sigma) - g_(\nu \sigma) M_(\mu \rho)$
con $(\mu,\nu,\rho,\sigma=0,1,2,3)$ e $g_(\mu \nu) = diag(1,-1,-1,-1)$
Definendo
$I_k = 1/2 \epsilon^(klm) M_(lm)$
$J_k = M_(0k)$
con $(k,l,m = 1,2,3)$ e $\epsilon^(klm)$ il tensore completamente antisimmetrico normalizzato a $\epsilon^(123)=+1$, detto anche tensore di Levi-Civita.
Far vedere che vale la seguente algebra
$[I_i , I_j] = - \epsilon^(ijk) I_k$
$[J_i , J_j] = \epsilon^(ijk) I_k$
$[I_i , J_j] = \epsilon^(ijk) J_k$
con $(i,j,k = 1,2,3)$
Il problema è evidentemente il delirio di indici con cui c'è da lavorare. Proprio mi sono arenato. Ho provato con alcuni casi particolari e mi viene, però vorrei provarle in generale....magari facendo uso di qualche proprietà di contrazione a me ignota del tensore di Levi-Civita....
Qualcuno riesce a capire come fare questa dimostrazione?
L'idea è che uno ha una collezione di sei operatori antihermitiani $M_(\mu \nu) = - M_(\nu \mu )$ che soddisfano la seguente algebra
$[M_(\mu \nu), M_(\rho \sigma)] = -g_(\mu \rho) M_(\nu \sigma) + g_(\mu \sigma) M_(\nu \rho) + g_(\nu \rho) M_(\mu \sigma) - g_(\nu \sigma) M_(\mu \rho)$
con $(\mu,\nu,\rho,\sigma=0,1,2,3)$ e $g_(\mu \nu) = diag(1,-1,-1,-1)$
Definendo
$I_k = 1/2 \epsilon^(klm) M_(lm)$
$J_k = M_(0k)$
con $(k,l,m = 1,2,3)$ e $\epsilon^(klm)$ il tensore completamente antisimmetrico normalizzato a $\epsilon^(123)=+1$, detto anche tensore di Levi-Civita.
Far vedere che vale la seguente algebra
$[I_i , I_j] = - \epsilon^(ijk) I_k$
$[J_i , J_j] = \epsilon^(ijk) I_k$
$[I_i , J_j] = \epsilon^(ijk) J_k$
con $(i,j,k = 1,2,3)$
Il problema è evidentemente il delirio di indici con cui c'è da lavorare. Proprio mi sono arenato. Ho provato con alcuni casi particolari e mi viene, però vorrei provarle in generale....magari facendo uso di qualche proprietà di contrazione a me ignota del tensore di Levi-Civita....
Risposte
oh le rappresentazioni di Lorentz che carine.... non hai citato il nome per farla passare come geometria, vero? 
se ho tempo (ma non ne ho) e cedo alla tentazione (ma spero di no, visto che dovrei lavorare ad altro) mi ci metto
se ho tempo (ma non ne ho) e cedo alla tentazione (ma spero di no, visto che dovrei lavorare ad altro) mi ci metto
Massi.....in fondo speravo di essere colto sul fatto.....
Comunque, giusto per completezza, questo problema è implementare l'algebra del gruppo di Lorentz introducendo una collezione antisimmetrica di tensori. Che ne contiene appunto 6 indipendenti che sono quelli definiti prima e soddisfano l'algebra di Lorentz che si deriva dalla rappresentazione vettoriale di Minkowski in 1+3 dimensioni. Però così era troppo impostato sulla fisica, il mio problema è proprio la gestione algebrica degli indici. In ogni caso se questo non è il posto giusto che i mod lo spostino pure.....
Comunque, giusto per completezza, questo problema è implementare l'algebra del gruppo di Lorentz introducendo una collezione antisimmetrica di tensori. Che ne contiene appunto 6 indipendenti che sono quelli definiti prima e soddisfano l'algebra di Lorentz che si deriva dalla rappresentazione vettoriale di Minkowski in 1+3 dimensioni. Però così era troppo impostato sulla fisica, il mio problema è proprio la gestione algebrica degli indici. In ogni caso se questo non è il posto giusto che i mod lo spostino pure.....
suggerimenti per la prima relazione:
prova a verificare le identità in questo modo:
1) espanendi l'$I_k$ a destra in funzione degli $M$ nella relazione di commutazione. Usa la formula "contracted epsilon identity" del paragrafo "relation to kronecker delta" di http://en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_symbol (quella solita insomma!). Questa è la relazione che vuoi verificare.
2) sostituisci ad $I_i$ ed $I_j$ nel commutatore le espressioni in funzione degli $M$. Consiera le quattro somme separatamente, utilizza il fatto che la $g$ è proporzionale alla $\delta$, smanetta con gli indici muti e prova a portare il tutto nella forma sopra... (si usa anche il fatto che $M_aa=0$ per ogni a$)
Sono quasi sicuro che dovrebbe tornare (credo di essere giunto al punto che mettendo i segni a posto torna), prova un po' anche tu se non ti torna nei prox giorni provo a scrivere il calcolo dettagliato...
prova a verificare le identità in questo modo:
1) espanendi l'$I_k$ a destra in funzione degli $M$ nella relazione di commutazione. Usa la formula "contracted epsilon identity" del paragrafo "relation to kronecker delta" di http://en.wikipedia.org/wiki/Levi-Civita_symbol (quella solita insomma!). Questa è la relazione che vuoi verificare.
2) sostituisci ad $I_i$ ed $I_j$ nel commutatore le espressioni in funzione degli $M$. Consiera le quattro somme separatamente, utilizza il fatto che la $g$ è proporzionale alla $\delta$, smanetta con gli indici muti e prova a portare il tutto nella forma sopra... (si usa anche il fatto che $M_aa=0$ per ogni a$)
Sono quasi sicuro che dovrebbe tornare (credo di essere giunto al punto che mettendo i segni a posto torna), prova un po' anche tu se non ti torna nei prox giorni provo a scrivere il calcolo dettagliato...
Comincio a scrivere qualcosa io così se ti prende bene provare i conti risparmi tempo copiando....
Prendiamo la commutazione tra i generatori delle rotazioni.
Intanto mi sembra sensato riscrivere il commutatore di $M_(\mu \nu)$ con gli indici latini, che vanno da 1 a 3, così tolgo la metrica e ci metto la delta. Dunque
$[M_(ab), M_(ij)] = \delta_(ai) M_(bj) - \delta_(aj) M_(bi) - \delta_(bi) M_(aj) + \delta_(bj) M_(ai)$
Ora scrivo il commutatore e provo a sostituire
$[I_c , I_k] = 1/4 \epsilon^(cab) \epsilon^(kij) [M_(ab), M_(ij)] = 1/4 \epsilon^(cab) \epsilon^(kij) {\delta_(ai) M_(bj) - \delta_(aj) M_(bi) - \delta_(bi) M_(aj) + \delta_(bj) M_(ai)}$
.....carino.....adesso pensavo di sommare le delta su $i$ e $j$, se non sbaglio viene
$[I_a , I_i] = 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kaj) M_(bj) - \epsilon^(kia) M_(bi) - \epsilon^(kbj) M_(aj) + \epsilon^(kib) M_(ai)}$
e adesso mi pianto....o meglio.....per come la vedo io non dovrebbe essere conveniente usare la relazione di contrazione di $\epsilon$. Infatti ce ne servono due nella forma finale. Quindi osservando il fattore $1/4$ davanti mi verrebbe da dire che i 4 addendi dentro alle graffe dovrebbero dividersi in modo tale che due si sommino e due si elidano (non so se mi sono spiegato....). Ho provato a smanettare ma proprio non ci salto fuori....
Grazie mille per l'interessamento comunque.....sono sempre belle le manifestazioni di solidarietà tra fisici che combattono contro gli indici!!!!!!!!
Tutto questo sbattimento mi serve per preparare l'esame di teoria dei campi........tu l'hai già dato per caso?
Prendiamo la commutazione tra i generatori delle rotazioni.
Intanto mi sembra sensato riscrivere il commutatore di $M_(\mu \nu)$ con gli indici latini, che vanno da 1 a 3, così tolgo la metrica e ci metto la delta. Dunque
$[M_(ab), M_(ij)] = \delta_(ai) M_(bj) - \delta_(aj) M_(bi) - \delta_(bi) M_(aj) + \delta_(bj) M_(ai)$
Ora scrivo il commutatore e provo a sostituire
$[I_c , I_k] = 1/4 \epsilon^(cab) \epsilon^(kij) [M_(ab), M_(ij)] = 1/4 \epsilon^(cab) \epsilon^(kij) {\delta_(ai) M_(bj) - \delta_(aj) M_(bi) - \delta_(bi) M_(aj) + \delta_(bj) M_(ai)}$
.....carino.....adesso pensavo di sommare le delta su $i$ e $j$, se non sbaglio viene
$[I_a , I_i] = 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kaj) M_(bj) - \epsilon^(kia) M_(bi) - \epsilon^(kbj) M_(aj) + \epsilon^(kib) M_(ai)}$
e adesso mi pianto....o meglio.....per come la vedo io non dovrebbe essere conveniente usare la relazione di contrazione di $\epsilon$. Infatti ce ne servono due nella forma finale. Quindi osservando il fattore $1/4$ davanti mi verrebbe da dire che i 4 addendi dentro alle graffe dovrebbero dividersi in modo tale che due si sommino e due si elidano (non so se mi sono spiegato....). Ho provato a smanettare ma proprio non ci salto fuori....
Grazie mille per l'interessamento comunque.....sono sempre belle le manifestazioni di solidarietà tra fisici che combattono contro gli indici!!!!!!!!
Tutto questo sbattimento mi serve per preparare l'esame di teoria dei campi........tu l'hai già dato per caso?
"alle.fabbri":
e adesso mi pianto....o meglio.....per come la vedo io non dovrebbe essere conveniente usare la relazione di contrazione di $\epsilon$. Infatti ce ne servono due nella forma finale.
non so magari sbaglio ma io propongo di elaborare la formula finale in questo modo... si può elaborare un attimo la tesi e provando a riscrivere il tutto usando gli indici dei tuoi calcoli:
$[I_c,I_k]=-\epsilon^(ckt)I_t=-(1/2)\epsilon^(ckt)\epsilon^(tab)M_(ab)=-(1/2)\epsilon^(tck)\epsilon^(tab)M_(ab)=$
$=-(1/2)(\delta^(ca)\delta^(kb)-\delta^(cb)\delta^(ka))M_(ab)=-(1/2)(M_(ck)-M_(kc))=-M_(ck)$
ed ora nella tesi non compaiono più nè delta nè epsilon se questi calcoli sono corretti (dimmi se tornano!)... ora proverei a cercare di dimostrare questa tesi continuando i tuoi calcoli (a proposito, buona idea usare le delta subito al posto delle g!) usando le contrazioni per eliminare delta ed epsilon che possano uscire fuori dai calcoli (perchè la tesi scritta così non ne contiene)...
"alle.fabbri":
Grazie mille per l'interessamento comunque.....sono sempre belle le manifestazioni di solidarietà tra fisici che combattono contro gli indici!!!!!!!!
Tutto questo sbattimento mi serve per preparare l'esame di teoria dei campi........tu l'hai già dato per caso?
di niente, lo faccio per imparare anche io che credi... ho dato un esame di teoria dei campi... ma ovviamente non è che uno dando un esame diventa competente sulla materia
Ok. Proviamoci....
Riparto da
$[I_c , I_k] = 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kaj) M_(bj) - \epsilon^(kia) M_(bi) - \epsilon^(kbj) M_(aj) + \epsilon^(kib) M_(ai)}$
intanto mi è venuto in mente di sfruttare il fatto che così come è scritta in questa espressione gli indici $i$ e $j$ sono muti. Quindi dovrebbe essere lecito sostutuire dentro parentesi le $j$ con le $i$, ottengo
$[I_c , I_k] = 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kia) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) + \epsilon^(kib) M_(ai)}$
$= 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) + \epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) + \epsilon^(kbi) M_(ai)}$$
quindi avviene quella "magica" semplificazione che avevo battezzato nel post di prima, cioè
$[I_c , I_k] = 1/2 \epsilon^(cab) \epsilon^(kai) M_(bi) = 1/2 \epsilon^(acb) \epsilon^(aki) M_(bi)$
Allora usando la contrazione di $\epsilon$ che hai suggerito tu
$[I_c , I_k] = 1/2 [\delta_(ck) \delta_(bi) - \delta_(ci) \delta_(bk) ] M_(bi) = - 1/2 M_(kc) = 1/2 M_(ck)$
perchè il primo termine è nullo siccome $M$ è antisimmetrico.
Non riesco proprio a ricondurli uno all'altro.....uffa.....
Riparto da
$[I_c , I_k] = 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kaj) M_(bj) - \epsilon^(kia) M_(bi) - \epsilon^(kbj) M_(aj) + \epsilon^(kib) M_(ai)}$
intanto mi è venuto in mente di sfruttare il fatto che così come è scritta in questa espressione gli indici $i$ e $j$ sono muti. Quindi dovrebbe essere lecito sostutuire dentro parentesi le $j$ con le $i$, ottengo
$[I_c , I_k] = 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kia) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) + \epsilon^(kib) M_(ai)}$
$= 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) + \epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) + \epsilon^(kbi) M_(ai)}$$
quindi avviene quella "magica" semplificazione che avevo battezzato nel post di prima, cioè
$[I_c , I_k] = 1/2 \epsilon^(cab) \epsilon^(kai) M_(bi) = 1/2 \epsilon^(acb) \epsilon^(aki) M_(bi)$
Allora usando la contrazione di $\epsilon$ che hai suggerito tu
$[I_c , I_k] = 1/2 [\delta_(ck) \delta_(bi) - \delta_(ci) \delta_(bk) ] M_(bi) = - 1/2 M_(kc) = 1/2 M_(ck)$
perchè il primo termine è nullo siccome $M$ è antisimmetrico.
Non riesco proprio a ricondurli uno all'altro.....uffa.....
"alle.fabbri":
$[I_c , I_k] = 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kia) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) + \epsilon^(kib) M_(ai)}$
$= 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) + \epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) + \epsilon^(kbi) M_(ai)}$$
qui c'è un errore di segno... niente magica semplificazione!
Giustissimo. Allora ci riprovo con pedantezza dei calcoli e se avrai la voglia e la pazienza di leggerli avrai la mia eterna riconoscenza.
$[I_c , I_k] = 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kia) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) + \epsilon^(kib) M_(ai)}$
$= 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) + \epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) - \epsilon^(kbi) M_(ai)}$
$= 1/4 \epsilon^(cab) {2 \epsilon^(kai) M_(bi) - 2 \epsilon^(kbi) M_(ai)}$
$= 1/2 \epsilon^(cab) { \epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai)}$
$= 1/2 \epsilon^(acb) \epsilon^(aki) M_(bi) + 1/2 \epsilon^(bac) \epsilon^(bki) M_(ai)$
$= 1/2 [\delta_(ck) \delta_(bi) - \delta_(ci) \delta_(bk)] M_(bi) + 1/2 [\delta_(ak) \delta_(ci) - \delta_(ai) \delta_(ck)] M_(ai)$
$= 1/2 M_(kc) + 1/2 M_(kc) = - M_(ck)$
Taaaa-daaaaaaa!!!!!!! Che faticaccia però....
"Thomas":
$[I_c,I_k]=-\epsilon^(ckt)I_t=-(1/2)\epsilon^(ckt)\epsilon^(tab)M_(ab)=-(1/2)\epsilon^(tck)\epsilon^(tab)M_(ab)=$
$=-(1/2)(\delta^(ca)\delta^(kb)-\delta^(cb)\delta^(ka))M_(ab)=-(1/2)(M_(ck)-M_(kc))=-M_(ck)$
$[I_c , I_k] = 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kia) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) + \epsilon^(kib) M_(ai)}$
$= 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) + \epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) - \epsilon^(kbi) M_(ai)}$
$= 1/4 \epsilon^(cab) {2 \epsilon^(kai) M_(bi) - 2 \epsilon^(kbi) M_(ai)}$
$= 1/2 \epsilon^(cab) { \epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai)}$
$= 1/2 \epsilon^(acb) \epsilon^(aki) M_(bi) + 1/2 \epsilon^(bac) \epsilon^(bki) M_(ai)$
$= 1/2 [\delta_(ck) \delta_(bi) - \delta_(ci) \delta_(bk)] M_(bi) + 1/2 [\delta_(ak) \delta_(ci) - \delta_(ai) \delta_(ck)] M_(ai)$
$= 1/2 M_(kc) + 1/2 M_(kc) = - M_(ck)$
Taaaa-daaaaaaa!!!!!!! Che faticaccia però....
NO! Nel ricontrollare meglio ho realizzato che c'è un errore nel 4 passaggio di cui non mi ero accorto.....
Aspetta che controllo..
Aspetta che controllo..
Non mi torna....manca un segno.....non ci posso credere.....esplicito tutto, di nuovo,
$[I_c , I_k] = 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kia) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) + \epsilon^(kib) M_(ai)}$
$= 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) + \epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) - \epsilon^(kbi) M_(ai)}$
$= 1/4 \epsilon^(cab) {2 \epsilon^(kai) M_(bi) - 2 \epsilon^(kbi) M_(ai)}$
$= 1/2 \epsilon^(cab) { \epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai)}$
fin qui è giusto, ora il punto in cui ho sbagliato prima
$= 1/2 \epsilon^(acb) \epsilon^(aki) M_(bi) + 1/2 \epsilon^(bca) \epsilon^(bki) M_(ai)$
$= 1/2 [\delta_(ck) \delta_(bi) - \delta_(ci) \delta_(bk)] M_(bi) + 1/2 [\delta_(ck) \delta_(ai) - \delta_(ci) \delta_(ak)] M_(ai)$
$= - 1/2 M_(kc) - 1/2 M_(kc) = M_(ck)$
Bene...sono daccapo....
$[I_c , I_k] = 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kia) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) + \epsilon^(kib) M_(ai)}$
$= 1/4 \epsilon^(cab) {\epsilon^(kai) M_(bi) + \epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai) - \epsilon^(kbi) M_(ai)}$
$= 1/4 \epsilon^(cab) {2 \epsilon^(kai) M_(bi) - 2 \epsilon^(kbi) M_(ai)}$
$= 1/2 \epsilon^(cab) { \epsilon^(kai) M_(bi) - \epsilon^(kbi) M_(ai)}$
fin qui è giusto, ora il punto in cui ho sbagliato prima
$= 1/2 \epsilon^(acb) \epsilon^(aki) M_(bi) + 1/2 \epsilon^(bca) \epsilon^(bki) M_(ai)$
$= 1/2 [\delta_(ck) \delta_(bi) - \delta_(ci) \delta_(bk)] M_(bi) + 1/2 [\delta_(ck) \delta_(ai) - \delta_(ci) \delta_(ak)] M_(ai)$
$= - 1/2 M_(kc) - 1/2 M_(kc) = M_(ck)$
Bene...sono daccapo....
non trovo errori ora... ma mi pare improbabile che ce ne siano altri, visto che solo un segno overall è sbagliato....
non è che nel testo manca un segno da qualche parte? (non vorrei che l'autore dell'esercizio abbia preso le formule che valgono per degli altri generatori del gruppo di Lorenz, visto che di solito li si prendono hermitiani e non anti-hermitiani)...
prova a fare i calcoli con la terza relazione e vedi cosa succede... se anche là dei segni sballano vuol dire che il testo non torna.... so che è noioso, ma sembra tu l'abbia presa sul personale!
non è che nel testo manca un segno da qualche parte? (non vorrei che l'autore dell'esercizio abbia preso le formule che valgono per degli altri generatori del gruppo di Lorenz, visto che di solito li si prendono hermitiani e non anti-hermitiani)...
prova a fare i calcoli con la terza relazione e vedi cosa succede... se anche là dei segni sballano vuol dire che il testo non torna.... so che è noioso, ma sembra tu l'abbia presa sul personale!
Ok. Ho trovato l'inghippo.... E' il segno del primo commutatore $[M_(\mu \nu), M_(\alpha \beta)]$ ad essere sbagliato.... Bene! Problema risolto. E ora vai con le anichilazioni!!!! Grazie mille del tutoraggio.....
"alle.fabbri":
Ok. Ho trovato l'inghippo.... E' il segno del primo commutatore $[M_(\mu \nu), M_(\alpha \beta)]$ ad essere sbagliato.... Bene! Problema risolto. E ora vai con le anichilazioni!!!! Grazie mille del tutoraggio.....
sempre più difficile
... in bocca al lupo ed alla prox
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