[algebra]determinare la direzione

[Bandit1]

Si considerino i piani alfa:x+2y+z=3 e il piano beta: x-y-2z=0.
quale è la direzione dlla retta r, che è intersezione dei due piani?
ciao grazie anticipatamente.

[Sk_Anonymous]

Ci sono vari modi; il piu' rapido che mi viene in mente e' chiamare ad esempio z=t e trovare x e y in funzione di t. Si hanno cosi' le equazioni parametriche della retta. Da esse uno legge il vettore che individua la direzione.

Luca Lussardi
http://www.llussardi.it

[Woody1]

Oppure si potrebbe fare il prodotto vettoriale fra i vettori:
[1 2 1],[1 -1 -2]. Il vettore risultante è il generatore della direzione della retta.

Woody

[Bandit1]

Y=x-2z vado a sostituire nella prima ed ottengo x=z+1, quest'ultimo risultato lo sostituisco in Y=x-2z, ed ottengo il sistema =z+1,y=1-z.
mi trovo giusto?

Per il metodo di Woody, preferirei una mano, che non l'ho mai sentito....
grazie

[Woody1]

La mia soluzione l'ho ottenuta usando la visione geometrica, tuttavia si può giustificare rigorosamente così: le direzioni dei piani dati sono rispettivamente: ker(v1) e ker(v2) dove v1=[1 2 1], v2=[1 -1 -2], vale a dire che tali direzioni sono i sottospazi ortogonali a tali vettori. La direzione della retta intersezione dei due piani è contenuta in entrambe le direzioni dei piani, quindi il vettore che genera la direzione della retta è ortogonale sia a v1 che a v2. Lo spazio ortogonale ai vettori v1 e v2 ha dimensione 1, quindi coincide con la direzione della retta cercata.

Woody

[Sk_Anonymous]

Cerco di... semplificare un po' l'ottima soluzione di Woody.
Il vettore direzionale di un piano (in R3) e' quello della
normale ad esso ed ha per componenti i coefficienti a,b,c
di x,y,z dell'equazione del piano .Nel caso nostro si ha:
n1=[1,2,1] ,n2=[1,-1,-2].
Il vettore direzionale della retta r comune ai due piani,
come si vede dalla figura,e' il prodotto vettoriale di
n1 ed n2 e le sue componenti sono i determinanti,
presi a segno alterno +-+, dei minori che si ottengono
cancellando (da sinistra) una colonna per volta nella
matrice 2x3 formata dalle componenti di n1 e n2.
Nel caso nostro la matrice e':
1....2....1
1...-1...-2
e quindi ,operando come si e' detto,risulta:
n1 /\ n2 =[-3,3-3] ovvero semplificando :
n1 /\ n2 =[1,-1,1].
Ciao.

[Bandit1]

a quindi considerando la matrice mi considero volta per volta i minori, che sono
1 2
1 -1
poi
2 1
-1 -2
poi
1 1
1 -2
ed i risultati poi semplificati danno la direzione,giusto? ho capito?

[Sk_Anonymous]

Cancellando la prima colonna si ha il minore:
2...1
-1..-2
il cui determinante e' =-3
Cancellando la seconda colonna si ha:
1...1
1..-2
il cui determinante e' -3 e quindi cambiato di segno risulta =3
Infine cancellando la terza colonna si ha:
1...2
1..-1
il cui determinante e' -3
Tieni sempre presente che il primo ed il terzo determinante
vanno presi col loro segno mentre il secondo col segno opposto.
Ciao.