[Algebra] Sistema al variare di h e k

[MakaSum]

Salve a tutti, mi ritrovo a risolvere questo sistema al variare di h e k, su cui ho qualche dubbio:

$\{(kx+y-z=h),(x+y+z=0),(y-z=1):}$

mi sono calcolato il determinante della matrice incompleta

det(A) = $|(k,1,-1),(1,1,1),(0,1,-1)|$ = -2k
quindi $det(A)!=0$ per $k!=0$

Calcolo i ranghi della matrice incompleta e completa:
|A| = $|(0,1,-1),(1,1,1),(0,1,-1)|$ rango 2 , |B| = $|(0,1,-1,h),(1,1,1,0),(0,1,-1,1)|$ rango 3

ne deduco che i sistemi sono incompatibili.

Uso Cramer e mi viene la terna di soluzioni
$(-(h-1)/(k); (-1+h-k)/(2k); (k+h-1)/(2k))$

Adesso mi sorge il dubbio, per trovare il valore di h, ho riformato il sistema con $k=0$, cioè:
$\{(y-z=h),(x+y+z=0),(y-z=1):}$
e ho trovato che i ranghi della matrice completa e incompleta è uguale a due, quindi il sistema è compatibile.

ho fatto il sistema per h=1
$\{(x+y=-z),(y=z+1):}$
ho usato Cramer e mi è venuta la terna di soluzioni
$(z+1;-2z-1;z)$

ho agito nel modo giusto?

[Sk_Anonymous]

Potevi già accorgertene quando hai studiato il rango della completa. L'orlato aveva determinante diverso da zero per $h != 1$.

[MakaSum]

Già è vero, me ne sono accorto solo adesso che me lo hai detto tu.. purtroppo sono di quelle cose "dirette" che ancora non riesco a farmi saltare subito all'occhio!