[Algebra Lineare]Verifica esercizio sottospazio intersezione
Salve, ho risolto un esercizio di un vecchio appello relativo all'intersezione di sottospazi:
"Si determini la dimensione del sottospazio vettoriale $U=VnnnW$ di $R^4$ dove
$V={(x,y,z,t)in R^4| x+y-z=0, z-t=0}, W={(a+b,a-b,a+b+c,c)in R^4|a,b,c in R}$.
Intanto, ho pensato di non risolvere in maniera "diretta" l'esercizio, ma di ricavarmi la dimensione del sottospazio intersezione dalla relazione di Grassman. Mi sono ricavato una base di $W$ scrivendo in questa maniera: $a((1),(1),(1),(0))+b((1),(-1),(1),(0))+c((0),(0),(1),(1))$. Quindi, W ha dimensione 3. Per trovarmi una base di $V$ ho invece pensato di risolvere il sistema lineare formato dalle due equazioni di $V$, quindi: ${\(x+y-z=0),(z-t=0):}$. Una base di $V$ è pertanto: $\lambda((-1),(1),(0),(0))+\mu((1),(0),(1),(1))$. Pertanto, la dimensione di V è 2. Per ricavarmi, invece, $dim(V+W)$, ho scritto la matrice formata dalle basi dei due sottospazi. Quindi: $((-1,1,0,0),(1,0,1,1),(1,1,1,0),(1,-1,1,0), (0,0,1,1))$ Di questi vettori, al massimo 4 sono L.I., per cui il rango della matrice è quattro e la dimensione di (V+W) è 4. Dalla relazione di Grassman, mi sono quindi ricavato: $dim(VnnnW)=dim(V)+dim(W)-dim(V+W)= 2+3-4=1$. La dimensione dell'intersezione è quindi 1.
Mi piacerebbe sapere se è corretto, o, comunque, se questo è il risultato...
Vi ringrazio tanto, come sempre!
"Si determini la dimensione del sottospazio vettoriale $U=VnnnW$ di $R^4$ dove
$V={(x,y,z,t)in R^4| x+y-z=0, z-t=0}, W={(a+b,a-b,a+b+c,c)in R^4|a,b,c in R}$.
Intanto, ho pensato di non risolvere in maniera "diretta" l'esercizio, ma di ricavarmi la dimensione del sottospazio intersezione dalla relazione di Grassman. Mi sono ricavato una base di $W$ scrivendo in questa maniera: $a((1),(1),(1),(0))+b((1),(-1),(1),(0))+c((0),(0),(1),(1))$. Quindi, W ha dimensione 3. Per trovarmi una base di $V$ ho invece pensato di risolvere il sistema lineare formato dalle due equazioni di $V$, quindi: ${\(x+y-z=0),(z-t=0):}$. Una base di $V$ è pertanto: $\lambda((-1),(1),(0),(0))+\mu((1),(0),(1),(1))$. Pertanto, la dimensione di V è 2. Per ricavarmi, invece, $dim(V+W)$, ho scritto la matrice formata dalle basi dei due sottospazi. Quindi: $((-1,1,0,0),(1,0,1,1),(1,1,1,0),(1,-1,1,0), (0,0,1,1))$ Di questi vettori, al massimo 4 sono L.I., per cui il rango della matrice è quattro e la dimensione di (V+W) è 4. Dalla relazione di Grassman, mi sono quindi ricavato: $dim(VnnnW)=dim(V)+dim(W)-dim(V+W)= 2+3-4=1$. La dimensione dell'intersezione è quindi 1.
Mi piacerebbe sapere se è corretto, o, comunque, se questo è il risultato...
Vi ringrazio tanto, come sempre!
Risposte
Io direi che il ragionamento fila.
Concordo con Lord K, ma a occhio mi pare che avresti fatto meno a fatica a calcolare brutalmente una base dell'intersezione: in fondo, avresti dovuto mettere a gradini un paio di matrici. 
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo