[Algebra Lineare]Teorema di Cramer
Ragazzi ho un dubbio su un passaggio della dim. qualucuno potrebbe chiarirmelo ?
Posto tutto quello che ho capito fino alla parte dubbiosa
Sia $AX=B$ un sistema lineare di m equazione in n incognite, se $|A|!=0$ allora il sistema ammette una e una sola soluzione uguale alla trasposta della n-pla
$bar X=(x_1,x_2,....,x_n)$.
Con $x_i=|B_i|/|A|$ per i=1....n.
$B_i$ per i=1....n è la matrice ottenuta a partire dalla matrice A sostituendo all'i-esima colonna di A la colonna dei termini noti.
Dim:
Se la soluzione esiste, proviamo che è unica.
Siano $X_1$ e $X_2$ due soluzioni del sistema, allora risulta $AX_1=B$ e $AX_2=B$,eguagliando le due relazioni si ha:
$AX_1=AX_2$, siccome $|A|!=0$ allora A è invertibile, quindi moltiplichiamo ambo i membri per $A^-1$
$X_1=X_2$ dunque la soluzione è unica.
Proviamo ora che la soluzione esiste ed è uguale alla trasposta di $bar X$.
Allora se $|A|!=0$ allora il rango di A è uguale ala rango della matrice completa dunque il sistema è compatibile,abbiamo provato che la soluzione è unica, bisogna verificare che è uguale a $bar X$.
Consideriamo il sistema $AX=B$, la matrice A e invertibile quindi possiamo scrivere $X=A^-1B$, per il criterio di invertibilita di una matrice $A^-1$ è uguale al prodotto del determinante di A alla meno 1 per la trasposta dell'aggiunta di A,quindi possiamo scrivere : inverso del determinante di A per la trasposta dell'aggiunta per la matrice colonna B.
Ora non capisco perche questo prodotto è uguale alla trasposta della n-pla $bar X$, qualcuno potrebbe chiarirmi quest'ultimo passaggio?
Grazie infinite
PS:Scusate se nell'ultima parte ho omesso l'uso del math, ma non so la sintassi del math per indicare la trasposta e l'aggiunta di una matrice.
Posto tutto quello che ho capito fino alla parte dubbiosa
Sia $AX=B$ un sistema lineare di m equazione in n incognite, se $|A|!=0$ allora il sistema ammette una e una sola soluzione uguale alla trasposta della n-pla
$bar X=(x_1,x_2,....,x_n)$.
Con $x_i=|B_i|/|A|$ per i=1....n.
$B_i$ per i=1....n è la matrice ottenuta a partire dalla matrice A sostituendo all'i-esima colonna di A la colonna dei termini noti.
Dim:
Se la soluzione esiste, proviamo che è unica.
Siano $X_1$ e $X_2$ due soluzioni del sistema, allora risulta $AX_1=B$ e $AX_2=B$,eguagliando le due relazioni si ha:
$AX_1=AX_2$, siccome $|A|!=0$ allora A è invertibile, quindi moltiplichiamo ambo i membri per $A^-1$
$X_1=X_2$ dunque la soluzione è unica.
Proviamo ora che la soluzione esiste ed è uguale alla trasposta di $bar X$.
Allora se $|A|!=0$ allora il rango di A è uguale ala rango della matrice completa dunque il sistema è compatibile,abbiamo provato che la soluzione è unica, bisogna verificare che è uguale a $bar X$.
Consideriamo il sistema $AX=B$, la matrice A e invertibile quindi possiamo scrivere $X=A^-1B$, per il criterio di invertibilita di una matrice $A^-1$ è uguale al prodotto del determinante di A alla meno 1 per la trasposta dell'aggiunta di A,quindi possiamo scrivere : inverso del determinante di A per la trasposta dell'aggiunta per la matrice colonna B.
Ora non capisco perche questo prodotto è uguale alla trasposta della n-pla $bar X$, qualcuno potrebbe chiarirmi quest'ultimo passaggio?
Grazie infinite
PS:Scusate se nell'ultima parte ho omesso l'uso del math, ma non so la sintassi del math per indicare la trasposta e l'aggiunta di una matrice.
Risposte
Una osservazione : Il teorema di Cramer si usa solo per sistemi quadrati , quindi di n equazioni in n incognite, con det A $ne 0 $.
Si vero , grazie per la precisazione !
Potresti chiarirmi quel passaggio della dim per cortesia?
Potresti chiarirmi quel passaggio della dim per cortesia?
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