[Algebra Lineare]Sistemi lineari
Rieccomi con un altro esercizio.
Sia
$Sigma:{hx+y+z=1;x+hy=0;2x+2hy-hz=0;t=h$
un sistema lineare.
1)Dire per quali valori di h il sistema è compatibile.
2)Dire per quali valori di h il sistema e determinato.
Allora io ho ragionato cosi:
Per il th. di rouchè-capelli un sistema è compatibile ,se e solo ,se il rango della matrice incompleta è uguale a rango della matrice completa.
Quindi la matrice incompleta
$A=((h,1,1,0),(1,y,0,0),(2,2h,-h,0),(0,0,0,1))$
ha rango 4 quando h!=0 e h!=+1,-1.
Quindi si ha che detta A|B la matrice completa ,$rank(A)=rank(A|B)$ se h!=0,h!=+1,-1, dunque per tali valori di h il sistema è compatibile.
Per il secondo quesito mi trovo spiazzata, perche per i valori di h da me trovati per il primo punto ho che |A|!=0 quindi per il th. di Cramer il sistema ammette una e una solo soluzione (il che significa dire che è determinato , giusto?) e quindi mi trovo con la stessa risposta a questi due quesiti...
Qualcuno potrebbe contrllare se ho risolto bene l'esercizio cortesemente
PS:perdonate la frequenza delle mie richieste , ma purtroppo a brevissimo ho l'esame di algebra e purtroppo non ho potuto seguire il corso quindi con la parte esercitativa mi trovo un po in difficolta
Sia
$Sigma:{hx+y+z=1;x+hy=0;2x+2hy-hz=0;t=h$
un sistema lineare.
1)Dire per quali valori di h il sistema è compatibile.
2)Dire per quali valori di h il sistema e determinato.
Allora io ho ragionato cosi:
Per il th. di rouchè-capelli un sistema è compatibile ,se e solo ,se il rango della matrice incompleta è uguale a rango della matrice completa.
Quindi la matrice incompleta
$A=((h,1,1,0),(1,y,0,0),(2,2h,-h,0),(0,0,0,1))$
ha rango 4 quando h!=0 e h!=+1,-1.
Quindi si ha che detta A|B la matrice completa ,$rank(A)=rank(A|B)$ se h!=0,h!=+1,-1, dunque per tali valori di h il sistema è compatibile.
Per il secondo quesito mi trovo spiazzata, perche per i valori di h da me trovati per il primo punto ho che |A|!=0 quindi per il th. di Cramer il sistema ammette una e una solo soluzione (il che significa dire che è determinato , giusto?) e quindi mi trovo con la stessa risposta a questi due quesiti...
Qualcuno potrebbe contrllare se ho risolto bene l'esercizio cortesemente
PS:perdonate la frequenza delle mie richieste , ma purtroppo a brevissimo ho l'esame di algebra e purtroppo non ho potuto seguire il corso quindi con la parte esercitativa mi trovo un po in difficolta
Risposte
Allora il determinante della matrice viene
$-h^3 + h$.
Attenzione alla seconda riga della tua matrice, hai messo $y$ al posto di $h$..
Il sistema ammette una sola soluzione, ovvero è determinato se $-h^3 + h \ne 0$
cioè se $h \ne 0$, $h \ne 1$, $h \ne -1$.
I tre casi singolari vanno studiati separatamente:
se $h=0$ si hanno infinite soluzioni, date da
${x = 0 ; y = 1 - z, z = z ; t = 0}$
se $h=1$ il sistema è impossibile
se $h=-1$ il sistema è impossibile
Francesco Daddi
$-h^3 + h$.
Attenzione alla seconda riga della tua matrice, hai messo $y$ al posto di $h$..
Il sistema ammette una sola soluzione, ovvero è determinato se $-h^3 + h \ne 0$
cioè se $h \ne 0$, $h \ne 1$, $h \ne -1$.
I tre casi singolari vanno studiati separatamente:
se $h=0$ si hanno infinite soluzioni, date da
${x = 0 ; y = 1 - z, z = z ; t = 0}$
se $h=1$ il sistema è impossibile
se $h=-1$ il sistema è impossibile
Francesco Daddi
Eh quindi per h!=0 h!=1 e h!=-1 il sitema e compatibile e ammette una solo soluzione ?
"Otherguy2k":
Eh quindi per h!=0 h!=1 e h!=-1 il sitema e compatibile e ammette una solo soluzione ?
Allora facciamo ordine:
se $ h \ne 0$, $h \ne 1$, $h \ne -1$ il sistema è determinato, cioè ha un'unica soluzione ed il sistema è compatibile;
se $h = 0$ il sistema è indeterminato, ammette cioè infinite soluzioni, ed è quindi compatibile (ha almeno una soluzione);
se $h = 1$ oppure se $h=-1$ il sistema è impossibile, ovvero non ci sono soluzioni.
Chiaro ora?
Francesco Daddi
Chiarissimo quindi il sistema è compatibile per h!=1 e h!=-1 , mentre è determinato per h!=0,h!=1,h!0-1.
Grazie mille per la spiegazione
Grazie mille per la spiegazione
"Otherguy2k":
Chiarissimo quindi il sistema è compatibile per h!=1 e h!=-1 , mentre è determinato per h!=0,h!=1,h!0-1.
Grazie mille per la spiegazione
Sì, ok.
Francesco Daddi
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