Algebra lineare..eserc. vettori e sottospazi

[bius88]

salve a tutti......potete dirmi come fare questo esercizio:
In R3 sono assegnati i vettori u(3,1,0) , v(0,–2,1) e w(6,–2,2). Determinare:
a) il sottospazio S generato da u, v e w;
b) una base e la dimensione del sottospazio S;
c) il sottospazio W intersezione di S con S1: x+3y–z=0;
d) una base e la dimensione di W.
grazie tante.......

[Camillo]

[mod="Camillo"]Sempre gradito, anzi necessario far vedere almeno un tentativo di soluzione [/mod]

[bius88]

ciao camillo......scusa ma non so proprio come iniziare......datemi l'input!!

[angus89]

"bius88":salve a tutti......potete dirmi come fare questo esercizio:
In R3 sono assegnati i vettori u(3,1,0) , v(0,–2,1) e w(6,–2,2). Determinare:
a) il sottospazio S generato da u, v e w;

Cosa vuol dire determinare il sottospazio?Se ho capito bene la risposta è nelle domande successive

"bius88":b) una base e la dimensione del sottospazio S;

Dovresti verificare che i vettori siano linearmente indipendenti, se lo sono la dimensione è 3 e la base sono i proprio i vettori $u,v,w$.
Se sono dipendenti allora procedi con l'algoritmo di estrazione, ovvero se trovi due vettori dipendenti togliene uno e così via sino a determinare i vettori che generano e dunque la base

"bius88":
c) il sottospazio W intersezione di S con S1: x+3y–z=0;

ogni equazione fà calare di uno la dimensione, dunque a priori puoi affermare che $dim S_1=dimS-1$, ora devi trovare i vettori che risolvono l'equazione di $S_1$ e fare l'intersezione...

"bius88":
d) una base e la dimensione di W.
grazie tante.......

e va bè...solita storia

[franced]

"bius88":salve a tutti......potete dirmi come fare questo esercizio:
In R3 sono assegnati i vettori u(3,1,0) , v(0,–2,1) e w(6,–2,2). Determinare:
a) il sottospazio S generato da u, v e w;
b) una base e la dimensione del sottospazio S;
c) il sottospazio W intersezione di S con S1: x+3y–z=0;
d) una base e la dimensione di W.
grazie tante.......

Per quanto riguarda i punti a) a b) basta osservare che il terzo vettore è
combinazione lineare dei primi due vettori $u$ e $v$.
Infatti:

$((6),(-2),(2)) = 2 ((3),(1),(0)) + 2 ((0),(-2),(1))$

Per il punto c) basta ricavare la $x$ dall'equazione del sottospazio:

$x = z - 3 y$

da cui otteniamo ($y=t$ ; $z=k$):

$((x),(y),(z)) = ((k - 3 t),(t),(k)) = t ((-3),(1),(0)) + k ((1),(0),(1))$ .