Algebra lineare - Sistemi lineari
Questo esercizio svolto non l'ho capito.
TESTO
Determinare un sistema lineare omogeneo che ammetta come soluzioni l'insieme delle terne h(1,1,0), $h \in \RR$.
SOLUZIONE
"Le equazioni di tale sistema devono essere soddisfatte da tutte le terne (x,y,z) che dipendono linearmente dalla terna (1,1,0).
Se esprimiamo tale condizione di dipendenza lineare imponendo che il rango della matrice:
$A=([x, y, z],[1, 1, 0])$
sia 1, fissato un minore di ordine 1 diverso da zero (per esempio quello evidenziato in grassetto) e uguagliati a zero i minori di ordine 2 che orlano tale minore, si ottengono le due equazioni
${ [x-y=0],[z=0] :}$
Queste sono un esempio di sist lin omog che ha quelle soluz."
Dunque, perchè è necessario imporre che il rango di A sia 1 e non 2? Se rgA=2 allora uno delle 3 incognite, (x y z) diventa parametro e il sistema (che ipotizzo formato da 3 eq in 3 incogn) avrebbe $infty^1$ soluz dipendenti da un solo parametro, così come dice il testo.
Qualcuno può spiegarmi in parole più semplici e meno stringate la frase in grassetto sopra indicata? Quale ragionamento ha seguito l'autore?
Oppure, è possibile risolvere il problema in un altro modo?
Grazie.
Ciao.
TESTO
Determinare un sistema lineare omogeneo che ammetta come soluzioni l'insieme delle terne h(1,1,0), $h \in \RR$.
SOLUZIONE
"Le equazioni di tale sistema devono essere soddisfatte da tutte le terne (x,y,z) che dipendono linearmente dalla terna (1,1,0).
Se esprimiamo tale condizione di dipendenza lineare imponendo che il rango della matrice:
$A=([x, y, z],[1, 1, 0])$
sia 1, fissato un minore di ordine 1 diverso da zero (per esempio quello evidenziato in grassetto) e uguagliati a zero i minori di ordine 2 che orlano tale minore, si ottengono le due equazioni
${ [x-y=0],[z=0] :}$
Queste sono un esempio di sist lin omog che ha quelle soluz."
Dunque, perchè è necessario imporre che il rango di A sia 1 e non 2? Se rgA=2 allora uno delle 3 incognite, (x y z) diventa parametro e il sistema (che ipotizzo formato da 3 eq in 3 incogn) avrebbe $infty^1$ soluz dipendenti da un solo parametro, così come dice il testo.
Qualcuno può spiegarmi in parole più semplici e meno stringate la frase in grassetto sopra indicata? Quale ragionamento ha seguito l'autore?
Oppure, è possibile risolvere il problema in un altro modo?
Grazie.
Ciao.
Risposte
Dire che il sistema deve avere come soluzioni le terne $h ((1),(1),(0))$, $h \in \mathbb{R}$, significa trovare l'equazione cartesiana dello spazio vettoriale generato dal vettore $((1),(1),(0))$, o equivalentemente, dello spazio il cui generico vettore è $((h),(h),(0))$.
La prima componente vale $h$, dunque $x = h$, la seconda vale $h$, dunque $y=h$, la terza vale $0$, dunque $z=0$. Pertanto si ottiene
$\{(x=h),(y=h),(z=0):}$
Eliminando il parametro $h$ si ottiene
$\{(x=y),(z=0):}$
La prima componente vale $h$, dunque $x = h$, la seconda vale $h$, dunque $y=h$, la terza vale $0$, dunque $z=0$. Pertanto si ottiene
$\{(x=h),(y=h),(z=0):}$
Eliminando il parametro $h$ si ottiene
$\{(x=y),(z=0):}$
ok, grazie. E' sbagliato dire che lo spazio vettoriale il cui generico vettore è $([h],[h],[0])$ (come mi hai spiegato tu) ha dimensione 1?
No, è giusto.
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