Algebra Lineare (rango)
Salve,
ho un piccolo dubbio riguardo l'intervallo nel quale può variare il rango di una matrice prima ancora di andare a fare i calcoli. Data una matrice con m righe ed n colonne il rango <= min (m,n). Tenendo presente anche matrici con valori k variabili come si fa a stabilire se il rango: 1<=rg<= min (m,n) o 2<=rg<= min (m,n). In sintesi come si fa a distinguere quando una matrice ha rango che parte da 1 da una matrice che ha rango che parte da 2 fino ad n (al variare di un parametro k)? Scusate se nn sono stato chiarissimo.
Grazie
Cordiali saluti
R.M.
ho un piccolo dubbio riguardo l'intervallo nel quale può variare il rango di una matrice prima ancora di andare a fare i calcoli. Data una matrice con m righe ed n colonne il rango <= min (m,n). Tenendo presente anche matrici con valori k variabili come si fa a stabilire se il rango: 1<=rg<= min (m,n) o 2<=rg<= min (m,n). In sintesi come si fa a distinguere quando una matrice ha rango che parte da 1 da una matrice che ha rango che parte da 2 fino ad n (al variare di un parametro k)? Scusate se nn sono stato chiarissimo.
Grazie
Cordiali saluti
R.M.
Risposte
devi fare esempi concreti di matrici, sia quadrate che non, dove compaia il tuo parametro k, e definire cos'è questo parametro, ovvero a quale insieme appartiene
Si hai ragione, allora è una matrice quadrata d'ordine 3 con k € R:
1 k+1 0
k 1 k
1-k k -k
1 k+1 0
k 1 k
1-k k -k
Premetto che sto studiando queste cose ora, quindi ovviamente perdonatemi se ci sono altri metodi diversi dal mio che non conosco....
Il rango di una matrice lo si calcola così... si riduce la matrice a gradini e si conta il numero di pivot... il numero di pivot èil rango della matrice, la matrice potrà quindi avere al massimo rango uguale al numero di righe.
Per quanto riguarda il parametro k, il metodo che adotterei io è ridurre la matrice a gradini (N.B. puoi sottrarre ad una riga anche "k volte" un'altra riga)...fino a giungere ad una matrice ridotta a gradini...a questo punto discuti il k, generalmente ci si ritrova a discutere il k sull'ultima riga...se non è detto prima che è un sistema lineare omogeneo, l'ultima colonna è quella dei "termini noti", bisognerà quindi inserire nella discussione quando k renderà il sistema non compatibile.
Non so se sono stato chiaro, spero di si...in caso più tardi posso metterti un esempio.
Lorenzo
Il rango di una matrice lo si calcola così... si riduce la matrice a gradini e si conta il numero di pivot... il numero di pivot èil rango della matrice, la matrice potrà quindi avere al massimo rango uguale al numero di righe.
Per quanto riguarda il parametro k, il metodo che adotterei io è ridurre la matrice a gradini (N.B. puoi sottrarre ad una riga anche "k volte" un'altra riga)...fino a giungere ad una matrice ridotta a gradini...a questo punto discuti il k, generalmente ci si ritrova a discutere il k sull'ultima riga...se non è detto prima che è un sistema lineare omogeneo, l'ultima colonna è quella dei "termini noti", bisognerà quindi inserire nella discussione quando k renderà il sistema non compatibile.
Non so se sono stato chiaro, spero di si...in caso più tardi posso metterti un esempio.
Lorenzo
se non leggi bene la matrice, eccola qui più leggibile:
1_____K+1_____0
k______1______k
1-k_____k_____-k
1_____K+1_____0
k______1______k
1-k_____k_____-k
Si, grazie lorenzo. Io so come si calcola il rango, sia con il metodo di gauss-jordan (riduzione a gradini) sia con il metodo di Rouchè-Capelli (matrice fondamentale e orlate). Chiedevo invece come posso sapere l'intervallo in cui il rango puo' variare senza fare calcoli. E volevo capire meglio quando il rango di una matrice può essere anche 1 (senza ridurla a gradini e verificare che si riduce ad una sola riga o colonna)
Altro esempio (discutere al variare di k): Ripeto che non voglio i calcoli
qui il rango <=4 ma è compreso tra 1 e 4 o 2 e 4???
1___0___k___-1
2___2k___3___1
1___4____1___1
-1___-1___0___1
(ps lorenzo in tal caso la riduzione a gradini risulta laboriosa)
qui il rango <=4 ma è compreso tra 1 e 4 o 2 e 4???
1___0___k___-1
2___2k___3___1
1___4____1___1
-1___-1___0___1
(ps lorenzo in tal caso la riduzione a gradini risulta laboriosa)
Riguardo l'ultimo esempio
il rango è sicuramente maggiore o uguale a 2 perchè è possibile trovare un minore di ordine due con determante diverso da 0 per ogni valore di k (in basso a destra)
Sinceramente a quest'ora non ricordo se questa è proprio la definizioen di rango oppure la conseguenza di qualche teorema.
(sperando di non aver detto cose sbaglaite)
EDIT: anzi il rango di questa matrice o è 3 o è 4 (basta considerare la matrice ottenuta togliendo la priam riga e la seconda colonna che se non ho sbagliato ha determiante diverso da 0).
quindi a questo punto basta una veloce verifica del determiante dell'intera matrice e quindi dire che per i valori di k che annullano il determiante la matrice ha rango 3 quando k non annulla il determiannte il rango è 4
il rango è sicuramente maggiore o uguale a 2 perchè è possibile trovare un minore di ordine due con determante diverso da 0 per ogni valore di k (in basso a destra)
Sinceramente a quest'ora non ricordo se questa è proprio la definizioen di rango oppure la conseguenza di qualche teorema.
(sperando di non aver detto cose sbaglaite)
EDIT: anzi il rango di questa matrice o è 3 o è 4 (basta considerare la matrice ottenuta togliendo la priam riga e la seconda colonna che se non ho sbagliato ha determiante diverso da 0).
quindi a questo punto basta una veloce verifica del determiante dell'intera matrice e quindi dire che per i valori di k che annullano il determiante la matrice ha rango 3 quando k non annulla il determiannte il rango è 4
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