Algebra lineare (questione semplicissima)
bene...
credo di non aver capito una delle basi dell'algebra lineare, ma arrivo subito al problema
Sia $V$ uno spazio vettoriale
Siano $U$ e $W$ due suoi sottospazi.
Si ha che
$U=span(v_1,v_3-v_1)$
$W=span(v_3,v_4)$
Determinare lo span di $U nn W$
Per span intendo "spazio generato dai vettori: "
credo di non aver capito una delle basi dell'algebra lineare, ma arrivo subito al problema
Sia $V$ uno spazio vettoriale
Siano $U$ e $W$ due suoi sottospazi.
Si ha che
$U=span(v_1,v_3-v_1)$
$W=span(v_3,v_4)$
Determinare lo span di $U nn W$
Per span intendo "spazio generato dai vettori: "
Risposte
beh $U$ io lo riscriverei come $U=Span(v_1,v_3)$, in quanto $v_3-v_1$ è combinazione lineare di questi.
Ora, presupponendo che $v_1$ sia indipendente $v_3$, e che $v_3$ sia indipendente da $v_4$, direi che $U nn V = Span(v_3)$...
Ora, presupponendo che $v_1$ sia indipendente $v_3$, e che $v_3$ sia indipendente da $v_4$, direi che $U nn V = Span(v_3)$...
evito di aprire un altro post ma esprimo un altro insiegnificante dubbio...
Poniamo di avere $K^n$ come spazio vettoriale (o un suo isomorfo)
Chiaramente $dim K^n=n$
Un vettore sarà pertanto $v=(x_1,x_2,...,x_n)$ dove $x_i$ sono le coordinate
Poniamo di avere un sottospazio $W=(a_1 x_1+...+a_n x_n=0)$ dove $a_i in R$ e $x_i$ sono le coordinate.
Possiamo affermare a priori che $dim W=n-1$?
Ok in questo caso è semplice perchè c'è una variabile costretta ad assumere un certo valore, ma se ci aggiungessi un'altra equazione possiamo affermare $dim W= n-2$?
E se come condizioni ci metto $k$ equazioni posso affermare che $dim W=n-k$?
Poniamo di avere $K^n$ come spazio vettoriale (o un suo isomorfo)
Chiaramente $dim K^n=n$
Un vettore sarà pertanto $v=(x_1,x_2,...,x_n)$ dove $x_i$ sono le coordinate
Poniamo di avere un sottospazio $W=(a_1 x_1+...+a_n x_n=0)$ dove $a_i in R$ e $x_i$ sono le coordinate.
Possiamo affermare a priori che $dim W=n-1$?
Ok in questo caso è semplice perchè c'è una variabile costretta ad assumere un certo valore, ma se ci aggiungessi un'altra equazione possiamo affermare $dim W= n-2$?
E se come condizioni ci metto $k$ equazioni posso affermare che $dim W=n-k$?
io la vedrei così:
supponi di avere k equazioni del tipo:
$a_(1,1)x_1 + ... + a_(1,n)x_n=0$
$vdots$
$a_(k,1)x_1 + ... + a_(k,n)x_n=0$
il sistema è chiaramente del tipo $Ax=0$, con $A=(a_(i,j))$
La dimensione delle soluzioni del sistema (il nucleo) è $r$, dove $r$ è il rango di $A$. Allora la dimensione delle variabili indipendenti è $n-r$.
Quindi in realtà non è $n-k$ ma $n-r$ (con $r<=k$), perchè se tu prendi tutte le equazioni NON proporzionali e NON dipendenti, ok è $k$, ma se metti caso prendi la seconda equazione multiplo della prima, la seconda è inutile ai fini dello span...
Spero di essermi spiegato! Ciao
supponi di avere k equazioni del tipo:
$a_(1,1)x_1 + ... + a_(1,n)x_n=0$
$vdots$
$a_(k,1)x_1 + ... + a_(k,n)x_n=0$
il sistema è chiaramente del tipo $Ax=0$, con $A=(a_(i,j))$
La dimensione delle soluzioni del sistema (il nucleo) è $r$, dove $r$ è il rango di $A$. Allora la dimensione delle variabili indipendenti è $n-r$.
Quindi in realtà non è $n-k$ ma $n-r$ (con $r<=k$), perchè se tu prendi tutte le equazioni NON proporzionali e NON dipendenti, ok è $k$, ma se metti caso prendi la seconda equazione multiplo della prima, la seconda è inutile ai fini dello span...
Spero di essermi spiegato! Ciao
certo certo...
ho capito cosa intendi e ho capito la formalizzazione...
Perchè il tutto era chiaro, ma non riuscivo a formalizzarlo e mostrare perchè è così...
ho capito cosa intendi e ho capito la formalizzazione...
Perchè il tutto era chiaro, ma non riuscivo a formalizzarlo e mostrare perchè è così...
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