[algebra lineare] Problema sulle rette in spazi euclidei

[kekko989]

Date le due rette:
${((-x+y-2z=1),(-x-2z=-1))$ e ${((x+y-z=0),(y-z=-2))$ trovare la retta h ortogonale ed incidente ad entrambe le rette.
Per l'ortogonalità ho pensato di calcolare il prodotto vettore tra gli spazi delle traslazioni delle rette e fino a lì ci sono. Ma per trovare la retta incidente ad entrambe? Ho provato a fare la differenza tra due punti generici delle due rette e viene fuori ovviamente un insieme di rette che sono incidono entrambi. ma come trovo quella ortogonale? grazie mille!

[fu^2]

se scrivi le due rette in forma parametrica le avrai scritte nella forma $r__i={a_i+tv_i|tinRR},i=1,2$ in particolare se $v_1,v_2$ sono l.indipendenti avrai che un retta ortogonale ad entrambe è data da un generatore di ${v_1,v_2}^{_|_}$ . SIa questo vettore $v_3$. Infatti per definizione avria che $(v_3,v_i)=0,i=1,2$. (questo è equivalente a quello che hai fatto te fino ad ora)


Se le due rette sono parallele ha finito. Se le due rette sono incidenti pure.

Rimane il caso che siano sghembe. In questo momento mi viene in mente questo:

Prendi il piano che ha come generatori (supponiamo per mettere nomi agli indici) $pi=span{v_3,v_2}$ e come punto di passaggio il punto di passaggio di $v_2$, cioè $pi={a_2+lambdav_2+muv_3|lambda,mu\inRR}

Essendo le rette sghembe questo piano interseca la retta $v_1$. In particolare l'intersezione esiste ed è unica (infatti le direzioni delle tre rette non sono mai parellele, quindi generano tutto lo spazio. Quindi i sottospazi di dimensione uno che genera ogni vettore direttore hanno intersezione banale essendo che sono tutti in somma diretta tra loto questo ti dice che è unica, per esistere esiste in quanto hai tre equazioni -due della retta, una del piano- che sono linearmente indipendenti).

bene! Ora hai finito. Infatti prendi il punto trovato e quello è il punto di passaggio per $v_3$. Questa retta vive nel piano $pi$ e in particolare ha come vettore direttore una direzione non parallela a $v_2$ e anche $v_2$ vive nel piano, quindi hanno un punto di intersezione.

ti convince? Prova a vedere se funziona e controllare che non ho scritto cazzate