[Algebra Lineare] piccolo dubbio
Ciao a tutti!
Sto preparando l'esame di algebra lineare e sfogliando il quaderno ho scovato l'accenno a un concetto che non c'è sul libro e che non mi risulta molto chiaro.
In pratica dato uno spazio vettoriale E e un suo sottospazio F, definisco un insieme così
$ E / F = { x + F | x in E} $
poi aggiungo che dato un omomorfismo $alpha$ tra due spazi vettoriali E ed E' si può dimostrare che $ E / (Ker alpha) $ è isomorfo a $ Im alpha$.
E' proprio soltanto un accenno a margine e può essere benissimo che sia io che mi sono sbagliata a scrivere, ma detto così non riesco a capire come è fattp questo insieme
In che senso x + F? Se qualcuno è riuscito a capire a cosa mi sto riferendo (io non lo so ! 
) mi può spiegare cosa vuol dire?
grazie!
Sto preparando l'esame di algebra lineare e sfogliando il quaderno ho scovato l'accenno a un concetto che non c'è sul libro e che non mi risulta molto chiaro.
In pratica dato uno spazio vettoriale E e un suo sottospazio F, definisco un insieme così
$ E / F = { x + F | x in E} $
poi aggiungo che dato un omomorfismo $alpha$ tra due spazi vettoriali E ed E' si può dimostrare che $ E / (Ker alpha) $ è isomorfo a $ Im alpha$.
E' proprio soltanto un accenno a margine e può essere benissimo che sia io che mi sono sbagliata a scrivere, ma detto così non riesco a capire come è fattp questo insieme
In che senso x + F? Se qualcuno è riuscito a capire a cosa mi sto riferendo (io non lo so ! ) mi può spiegare cosa vuol dire?grazie!
Risposte
quello che hai scritto è semplicemente come si definisce lo spazio vettoriale quoziente.... cioè se $V$ è uno spazio vettoriale e $W$ un suo sottospazio possiamo definire una somma sul quoziente ponendo $(v_1+W)+(v_2+W)=(v_1+v_2)+W$. si mostra che questa è ben definita e si definisce anche una moltiplicazione per scalari vale a dire $c(v+W)=cv+W$ e anche questa risulta essere ben definita...e si ha che lo zero in questo insieme con queste operazioni è $W$... e quindi $V//W$ si chiama spazio vettoriale quuoziente di $V$ modulo $W$....
e allora quando hai un omomorfismo $f:V->V^{\prime}$ allora visto che $ker(f)$ è un sottospazio di $V$, puoi definire lo spazio quoziente $V//ker(f)$ e questro èisomorfo ad $Im(f)$ sempre per il teorema fondamentale di omomorfismo...(ricorda che il teorema di omorfismo vale più in generale su insiemi senza alcuna struttura aggiuntiva e quindi a maggior ragione vale su uno spazio vettoriale con le dovute cautele).
osservazioni:
se $V=W$ allora il quoziente possiede un unico elemento $V$ stesso e si identifica con il vettore nullo....
se invece $W=0$ allora $V//W$ coincide con $V$....
ciao ciao
e allora quando hai un omomorfismo $f:V->V^{\prime}$ allora visto che $ker(f)$ è un sottospazio di $V$, puoi definire lo spazio quoziente $V//ker(f)$ e questro èisomorfo ad $Im(f)$ sempre per il teorema fondamentale di omomorfismo...(ricorda che il teorema di omorfismo vale più in generale su insiemi senza alcuna struttura aggiuntiva e quindi a maggior ragione vale su uno spazio vettoriale con le dovute cautele).
osservazioni:
se $V=W$ allora il quoziente possiede un unico elemento $V$ stesso e si identifica con il vettore nullo....
se invece $W=0$ allora $V//W$ coincide con $V$....
ciao ciao
Grazie della spiegazione dettagliata! Soltanto continuo a non capire bene com'è fatto questo insieme.. qundo dici $x + W$ cosa intendi? un insieme formato da tutti gli elementi che si ottengono sommando a ciascun elemento di W x? e l'insieme quoziente ha per elementi tutti gli insiemi di questo tipo al variare di x?
E' possibile o ho sparato una sciocchezza?
E' possibile o ho sparato una sciocchezza?
un insieme formato da tutti gli elementi che si ottengono sommando a ciascun elemento di W x?
SI.
l'insieme quoziente ha per elementi tutti gli insiemi di questo tipo al variare di x?
meglio precisare...se prendi $s,t\inV$ i due sottospazi affini $s+W$ e $t+W$ o coincidono oppure sono disgiunti... quindi la famiglia costituita dai sottospazi affini di $V$ aventi giacitura $W$ costituisce una partizione di $V$...
"miuemia":un insieme formato da tutti gli elementi che si ottengono sommando a ciascun elemento di W x?
SI.
l'insieme quoziente ha per elementi tutti gli insiemi di questo tipo al variare di x?
meglio precisare...se prendi $s,t\inV$ i due sottospazi affini $s+W$ e $t+W$ o coincidono oppure sono disgiunti... quindi la famiglia costituita dai sottospazi affini di $V$ aventi giacitura $W$ costituisce una partizione di $V$...
Ok, ora è tutto chiaro.. ti ringrazio moltissimo!
nula figurati
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