Algebra lineare per Geometria 1
CIAO a tutti sono nuova di qui ma ho letto tutto il regolamento quindi spero di non sbagliare nulla!
mi sto scervellando da un pò su un esercizio di algebra lineare,
ve lo enuncio:
sia fk l'endomorfismo di r4 tale che fk(1,0,1,0)=(-1,0,-1,0) , fk(2,1,0,0)=(-2,-1,0,0) , fk(1,0,0,-1)=(2,0,0,-2) e
fk(0,0,0,3)=(k,0,0,2k)
°stabilire al variare del parametro reale k le dimensioni ed una base del nucleo e dell'immagine di fk(SENZA DETERMINARE ESPLICITAMENTE FK)
E' proprio su questo senza esplicitare fk che le mie conoscenze mi abbandonando, cioè mi spiego io so che la conoscenza dei valori che f assume su i vettori determina ( sempre se questi vettori sono indipendenti). dopo svariati calcoli sulle combinazioni lineari dei vettori (1,0,1,0)(2,1,0,0)(1,0,0,-1)(0,0,0,3) arriverei a determinare (grazie alla proprietà di linearità) la fk e dunque poi la matrice associata a questa funzione da cui poi potrei calcolarmi il kerf granzie allo studio associato al sistema lineare di a
Ma proprio perchè non posso partire con il determinare la fk ho iniziato a fare alcune osservazioni!
1° fk(1,0,1,0)=(-1,0,-1,0) ,.... risultano (ad occhio) indipendenti
2° (-1,0,-1,0)(-2,-1,0,0)(2,0,0,-2)(k,0,0,2k) sarebbe la matrice rappresentativa del kerf??
3° (1,0,1,0)(2,1,0,0)(1,0,0,-1)(0,0,0,3) è la matrice rappresentativa dell imf?
scusate la confusione spero che qualcuno può delucidarmi
ps: conosco le definizioni di kerf e di imf
ImF = {Fk(v) | v ∈ V } = hfk(v1), . . . , hfk(vn) ⊆ W(codominio)
Kerf = {v ∈ V | Fk(v) = 0} ⊆ V(dominio)
mi sto scervellando da un pò su un esercizio di algebra lineare,
ve lo enuncio:
sia fk l'endomorfismo di r4 tale che fk(1,0,1,0)=(-1,0,-1,0) , fk(2,1,0,0)=(-2,-1,0,0) , fk(1,0,0,-1)=(2,0,0,-2) e
fk(0,0,0,3)=(k,0,0,2k)
°stabilire al variare del parametro reale k le dimensioni ed una base del nucleo e dell'immagine di fk(SENZA DETERMINARE ESPLICITAMENTE FK)
E' proprio su questo senza esplicitare fk che le mie conoscenze mi abbandonando, cioè mi spiego io so che la conoscenza dei valori che f assume su i vettori determina ( sempre se questi vettori sono indipendenti). dopo svariati calcoli sulle combinazioni lineari dei vettori (1,0,1,0)(2,1,0,0)(1,0,0,-1)(0,0,0,3) arriverei a determinare (grazie alla proprietà di linearità) la fk e dunque poi la matrice associata a questa funzione da cui poi potrei calcolarmi il kerf granzie allo studio associato al sistema lineare di a
Ma proprio perchè non posso partire con il determinare la fk ho iniziato a fare alcune osservazioni!
1° fk(1,0,1,0)=(-1,0,-1,0) ,.... risultano (ad occhio) indipendenti
2° (-1,0,-1,0)(-2,-1,0,0)(2,0,0,-2)(k,0,0,2k) sarebbe la matrice rappresentativa del kerf??
3° (1,0,1,0)(2,1,0,0)(1,0,0,-1)(0,0,0,3) è la matrice rappresentativa dell imf?
scusate la confusione spero che qualcuno può delucidarmi
ps: conosco le definizioni di kerf e di imf
ImF = {Fk(v) | v ∈ V } = hfk(v1), . . . , hfk(vn) ⊆ W(codominio)
Kerf = {v ∈ V | Fk(v) = 0} ⊆ V(dominio)
Risposte
@AntoEm,
mmm a parte qualche simbolo che non mi convince... quando scrivi fk intendi \( f_k \) ?
Saluti
P.S.=(CLIC)
mmm a parte qualche simbolo che non mi convince... quando scrivi fk intendi \( f_k \) ?
Saluti
P.S.=(CLIC)
sisi
@AntoEm,
tu hai un \(f_k \in End_\mathbb{R}(\mathbb{R}^4) \), ove:
\( f_k(1,0,1,0)=(-1,0,-1,0)\)
\( f_k(2,1,0,0)=(-2,-1,0,0) \)
\(f_k(1,0,0,-1)=(2,0,0,-2) \)
\(f_k(0,0,0,3)=(k,0,0,2k)\)
\( k \in \mathbb{R} \)
si chiede di stabilire al variare del parametro reale \(k\) le dimensioni ed una base del nucleo e dell'immagine di \(f_k\)
Sono questi i dati a disposizione?
Non capisco quando dici:
??
Saluti
tu hai un \(f_k \in End_\mathbb{R}(\mathbb{R}^4) \), ove:
\( f_k(1,0,1,0)=(-1,0,-1,0)\)
\( f_k(2,1,0,0)=(-2,-1,0,0) \)
\(f_k(1,0,0,-1)=(2,0,0,-2) \)
\(f_k(0,0,0,3)=(k,0,0,2k)\)
\( k \in \mathbb{R} \)
si chiede di stabilire al variare del parametro reale \(k\) le dimensioni ed una base del nucleo e dell'immagine di \(f_k\)
Sono questi i dati a disposizione?
Non capisco quando dici:
"AntoEm":
... esplicitare fk ... con il determinare la fk
??
Saluti
si scusate ma non so come si fa a scrivere.... comunque quelle fk sono la funzione lineare
@AntoEm,
ok dai.. non fa nnt.. sai ricavarti il \( ker(f_k)\) e l'\(im(f_k)\)?
Tu avevi scritto, partendo da una \( F \in Hom_K(V,W) \) e scrivendo quello che hai scritto con l'apposita codifica:
cosa intendi quando hai scritto \(hF(v_1), . . . , hF(v_n) \) ??
Saluti
P.S.= Concordo sul fatto che \(ker(F) = \{v ∈ V | F(v) = 0\} \) e \(im(F) = \{F(v) | v ∈ V \} \)
"AntoEm":
si scusate ma non so come si fa a scrivere.... comunque quelle fk sono la funzione lineare
ok dai.. non fa nnt.. sai ricavarti il \( ker(f_k)\) e l'\(im(f_k)\)?
Tu avevi scritto, partendo da una \( F \in Hom_K(V,W) \) e scrivendo quello che hai scritto con l'apposita codifica:
"AntoEm":
ps: conosco le definizioni di \(ker(F)\) e di \(im(F)\):
\(im(F) = \{F(v) | v ∈ V \} = hF(v_1), . . . , hF(v_n) \) con \( im(F) \subseteq W \)
\(ker(F) = \{v ∈ V | F(v) = 0\} \subseteq V\)
cosa intendi quando hai scritto \(hF(v_1), . . . , hF(v_n) \) ??
Saluti
P.S.= Concordo sul fatto che \(ker(F) = \{v ∈ V | F(v) = 0\} \) e \(im(F) = \{F(v) | v ∈ V \} \)
combinazione lineare dei vettori f con k (v1,..,vn) contenuti in W(codominio).
dai dati che mi da il testo non riesco a ricavare quello che mi chiede nonostante le regole che conosco mi manca qualche tassello
dai dati che mi da il testo non riesco a ricavare quello che mi chiede nonostante le regole che conosco mi manca qualche tassello
@AntoEm,
mmm
continuo a non capire.. ma non fa nnt.. il \( ker(f_k) \) in questo caso è formato dai vettori \( v \in \mathbb{R}^4 \) tali che \( f_k(v)=(0,0,0,0)\), quindi ti basta prendere la generica immagine \( f_k(v)\) è uguagliarla a \( (0,0,0,0)\).. sai fare questo?
Saluti
"AntoEm":
combinazione lineare dei vettori f con k (v1,..,vn) contenuti in W(codominio).
dai dati che mi da il testo non riesco a ricavare quello che mi chiede nonostante le regole che conosco mi manca qualche tassello
mmm
continuo a non capire.. ma non fa nnt.. il \( ker(f_k) \) in questo caso è formato dai vettori \( v \in \mathbb{R}^4 \) tali che \( f_k(v)=(0,0,0,0)\), quindi ti basta prendere la generica immagine \( f_k(v)\) è uguagliarla a \( (0,0,0,0)\).. sai fare questo?Saluti
la generica immagine, basta trovarmi il sistema di generatori fk(1,0,1,0)
fk(2,1,0,0)
fk(1,0,0,−1)
fk(0,0,0,3)
e porlo poi uguale al vettore nullo?
mi dite dove vedere per imparare i vari codici per "scrivere meglio"?
saluti
fk(2,1,0,0)
fk(1,0,0,−1)
fk(0,0,0,3)
e porlo poi uguale al vettore nullo?
mi dite dove vedere per imparare i vari codici per "scrivere meglio"?
saluti
quello che tentavo di dire riguardo Imf è che io sappia corrisponde allo spazio immagine constituito da tutti i vettori f con k (v) tale che v appartiene al dominio, dunque è un sottospazio del codominio W
@AntoEm,
avendo \(f_k \in End_\mathbb{R}(\mathbb{R}^4) \), ove:
\( f_k(1,0,1,0)=(-1,0,-1,0)\)
\( f_k(2,1,0,0)=(-2,-1,0,0) \)
\(f_k(1,0,0,-1)=(2,0,0,-2) \)
\(f_k(0,0,0,3)=(k,0,0,2k)\)
\( k \in \mathbb{R} \)
io noto che il sistema di vettori \(((1,0,1,0),(2,1,0,0),(1,0,0,-1),(0,0,0,3)) \) è libero su \( \mathbb{R} \) quindi è anche base per \( \mathbb{R}^3 \), quindi ogni vettore \( v \in \mathbb{R}^3 \) sarà certamente $$ v=\alpha_1(1,0,1,0)+\alpha_2(2,1,0,0)+\alpha_3(1,0,0,-1)+\alpha_4(0,0,0,3)$$ e valutando \( f_k(v) \) avremo $$f_k(v)=\alpha_1f_k((1,0,1,0))+\alpha_2f_k((2,1,0,0))+\alpha_3f_k((1,0,0,-1))+\alpha_4f_k((0,0,0,3))$$ ricordando che a noi interessa \( f_k(v)=(0,0,0,0)\) avremo $$f_k(v)=\alpha_1f_k((1,0,1,0))+\alpha_2f_k((2,1,0,0))+\alpha_3f_k((1,0,0,-1))+\alpha_4f_k((0,0,0,3))=(0,0,0,0)$$ esplicitando e sostituendo il tutto avremo 4 uguaglianze, ovvero un sistema di equazioni lineari in incognite \( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 \) e con paramento \(k \).. Sai continuare da qui in poi?
Saluti
P.S.=Per le formule puoi vedere qui: http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=18&t=26179
avendo \(f_k \in End_\mathbb{R}(\mathbb{R}^4) \), ove:
\( f_k(1,0,1,0)=(-1,0,-1,0)\)
\( f_k(2,1,0,0)=(-2,-1,0,0) \)
\(f_k(1,0,0,-1)=(2,0,0,-2) \)
\(f_k(0,0,0,3)=(k,0,0,2k)\)
\( k \in \mathbb{R} \)
io noto che il sistema di vettori \(((1,0,1,0),(2,1,0,0),(1,0,0,-1),(0,0,0,3)) \) è libero su \( \mathbb{R} \) quindi è anche base per \( \mathbb{R}^3 \), quindi ogni vettore \( v \in \mathbb{R}^3 \) sarà certamente $$ v=\alpha_1(1,0,1,0)+\alpha_2(2,1,0,0)+\alpha_3(1,0,0,-1)+\alpha_4(0,0,0,3)$$ e valutando \( f_k(v) \) avremo $$f_k(v)=\alpha_1f_k((1,0,1,0))+\alpha_2f_k((2,1,0,0))+\alpha_3f_k((1,0,0,-1))+\alpha_4f_k((0,0,0,3))$$ ricordando che a noi interessa \( f_k(v)=(0,0,0,0)\) avremo $$f_k(v)=\alpha_1f_k((1,0,1,0))+\alpha_2f_k((2,1,0,0))+\alpha_3f_k((1,0,0,-1))+\alpha_4f_k((0,0,0,3))=(0,0,0,0)$$ esplicitando e sostituendo il tutto avremo 4 uguaglianze, ovvero un sistema di equazioni lineari in incognite \( \alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\alpha_4 \) e con paramento \(k \).. Sai continuare da qui in poi?
Saluti
P.S.=Per le formule puoi vedere qui: http://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=18&t=26179
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