[Algebra lineare] Intuizione geometrica dell'autospazio di una matrice simmetrica di ordine 3

[xavio310]

Salve a tutti! Ho una domanda da porvi: esiste un'intuizione geometrica del fatto che una matrice quadrata di ordine n ammette sempre n autovalori? Supponendo di restringere il ragionamento a matrice simmetrica di ordine 3, in modo da avere unicamente autovalori reali, non si può avere una funzione lineare rappresentata da una matrice il cui autospazio ha dimensione 0?

[cooper1]

"xavio310":esiste un'intuizione geometrica del fatto che una matrice quadrata di ordine n ammette sempre n autovalori?

sinceramente non saprei risponderti, però quello che affermi è vero unicamente in $CC$. non è infatti detto che in $RR$ la matrice sia sempre diagonalizzabile.

"xavio310":non si può avere una funzione lineare rappresentata da una matrice il cui autospazio ha dimensione 0?

no. un autospazio, e cioè la molteplicità geometrica, è sempre almeno 1. si può dire di più: vale la catena di disequazioni

$1<=m_g<=m_a$

il perchè della prima disequazione è presto detto: se hai un autovalore, necessariamente esiste almeno un autovettore e quindi l'autospazio (insieme degli autovettori) relativo a quell'autovalore ha almeno un elemento.

[killing_buddha]

La definizione di autospazio come \(\ker(\varphi-\lambda \mathbb{I})\) obbliga tale spazio vettoriale ad avere almeno dimensione 1, dato che (per def di autovalore) hai scelto $\lambda$ tale per cui $\varphi-\lambda \mathbb{I}$ non sia iniettivo.

[xavio310]

"killing_buddha":La definizione di autospazio come \( \ker(\varphi-\lambda \mathbb{I}) \) obbliga tale spazio vettoriale ad avere almeno dimensione 1, dato che (per def di autovalore) hai scelto $ \lambda $ tale per cui $ \varphi-\lambda \mathbb{I} $ non sia iniettivo.

"cooper":
il perchè della prima disequazione è presto detto: se hai un autovalore, necessariamente esiste almeno un autovettore e quindi l'autospazio (insieme degli autovettori) relativo a quell'autovalore ha almeno un elemento.

Quindi qualsiasi funzione lineare ha almeno un autovalore e quindi almeno un autovettore. E' corretta come affermazione?

[killing_buddha]

"xavio310":Quindi qualsiasi funzione lineare ha almeno un autovalore e quindi almeno un autovettore. E' corretta come affermazione?

Ogni polinomio ha almeno una radice: è corretta questa affermazione?

[xavio310]

Ok chiaro! XD Ancora però ho qualche dubbio se sia possibile dare un'interpretazione geometrica generica a ciò. Credo di aver letto proprio su questo forum, che, per una matrice associata a una funzione lineare, almeno uno degli autovalori deve essere reale. Se poi la matrice è simmetrica ho necessariamente 3 autovalori reali, e ho necessariamente 3 autovettori linearmente indipendenti. Tutto questo perché sto cercando di capire se sia possibile associare un'intuizione geometrica generale alle funzioni lineari che agiscono su vettori dello spazio euclideo