AlGebra lineare: imporre base del Ker

[nato_pigro1]

Scrivo il testo dell'esercizio, alcune parti credo di averle risolte (chiedo il vostro parere), altre non so come farle...

Si considerino i seguenti sottospazi di $RR^4$:
$V={(x,y,z,t) in RR^4 | x+2y-z+3t=0}$ e $W=<(1,0,2,1),(1,2,0,7),(0,1,-1,3)>$
ho trovato le basi: base $W={(1,2,0,7)(1,0,2,1)}$, base $V={(1,0,1,0),(0,1,1,0),(0,0,3,1)}$

a)Determinare una base e la dimensione di $VnnW$ e di $V+W$
a me è venuto: base $VnnW={(6,-1,13,3)}$

b)Trovare un sottospazio $Z$ di $RR^4$ tale che $(VnnW)+Z=V$ (dove $+$ è la somma diretta in questo caso)
ho trovato $Z={(0,1,1,0),(0,0,3,1)}

c)Trovare due sottospazi distinti $T_1$ e $T_2$ tali che $W+T_1=W+T_2=RR^4$ (dove $+$ è la somma diretta in questo caso)
Io ho preso $T_1={(0,1,0,0),(0,0,1,0)}$ e $T_2={(1,1,0,0),(0,0,1,1)}$ (ho alcuni dubbi qui)

d)Definire e è possibile un'applicazione lineare $f: RR^4 \to RR^4$ tale che $Ker(f)=V$ e $Im(f)subeW$
e qua non riesco proprio...

e)Definire e è possibile un'applicazione lineare $f: RR^4 \to RR^4$ tale che $Ker(f)=W$ e $T_1$ sia l'autospazio relativo a $1$.
anche questo è analogo al d) che non riesco a fare...

[_Tipper]

"nato_pigro":d)Definire e è possibile un'applicazione lineare $f: RR^4 \to RR^4$ tale che $Ker(f)=V$ e $Im(f)subeW$
e qua non riesco proprio...

Dato che $\dim(V) = 3$, deve risultare $\dim(Im(f)) = 1$ per il teorema dimensionale (o come cavolo si chiama). L'equazione cartesiana di $V$ è $x + y - z + 3t = 0$, quello che mi è venuto in mente è imporre che la prima riga della matrice sia $(1, 1, -1, 3)$. La matrice

$((1, 1, -1, 3),(0,0,0,0),(0,0,0,0),(0,0,0,0))$

ha come ker lo spazio $V$, però c'è da aggiustare l'immagine. Dato che un elemento di $W$ è $(1, 0, 2, 1)$ e che cerco (come immagine) uno spazio di dimensione $1$, potrei imporre che questo vettore appartenga all'immagine, senza alterare la dimensione del ker.
Posso quindi lasciare la seconda riga com'è, scrivere la terza come il doppio della prima, e la quarta uguale alla prima, ottenendo questa matrice

$A = ((1, 1, -1, 3),(0,0,0,0),(2,2,-2,6),(1, 1, -1, 3))$

In questo modo l'applicazione rappresentata da $A$ è quella che cerchi, dato che $A X = O$ è proprio l'equazione cartesiana di $V$ e l'immagine è lo spazio generato da $(1, 0, 2, 1)$. Ti torna?

[nato_pigro1]

ma la matrice $A$ da quale base dipende?
la mia $f$ quale sarebbe?