Algebra lineare I.. esercizi esame... HELP!

[LeRoi1]

Data g : R^5 --> R^8 lineare con g(e1) + g(e5) = 0, che dimensione può avere X C R^8 tale che
X "intersecato" Im(g) = {0} e X+Im(g) = R^8?

il mio problema è che non ho capito che vuol dire e1, e5....
Qualcuno sa spiegarmelo in maniera semplice??

vi prego aiutatemi... ho un esame il 20!

grazie!

[enpires1]

Dovrebbero essere i vettori di base canonica $e_1 = ((1),(0),(0),(0),(0)), e_5 = ((0),(0),(0),(0),(1))$
In generale $e_i in V^n : e_i = ((0),(.),(.),(1),(.),(.),(0))$ con 1 nella $i$-esima posizione, e formato da $n$ elementi

[LeRoi1]

bene grazie mille!! avevo cominciato a farlo in quel modo ma pensavo di aver sbagliato perchè non so come andare avanti..
C'è nessuno che pùò risolvere l'ercizio spiegandolo dall'inizio??
Vi ringrazio tantissimo...

[enpires1]

In pratica ti chiede che
$dim(X) - dim(Im(g)) = 0$ e
$dim(x) + (dim(Im(g)) = 8$
(non ti interessa sapere altro, se ho capito bene l'esercizio)
Siccome hai dalla prima che $dim(x) = dim(im(g))$, sostituito nella seconda hai che $dim(X) = 4$

(spero di aver interpretato bene il testo)

[LeRoi1]

la soluzione di quell'esercizio è la seguente:

8-rank(g), dove 0<=rank(g)<=4, dunque tra 4 e 8

questa è la soluzione data dal professore...
boh

[enpires1]

Aspetta aspetta che ho fatto di fretta e ho sbagliato...
Però perdonami una cosa... sicuro che la prima condizione non sia $X nn Im(g)$??
perchè se l'unione da l'insieme vuoto vuol dire che sono vuoti...

[LeRoi1]

si hai ragione scusa... correggo...
non so come si fa a scriverlo come mai a te ti viene?? che devo pigiare?

[enpires1]

guarda qui https://www.matematicamente.it/forum/com ... 26179.html
Comunque, tornando all'argomento in questione

Allora riscriviamo per bene il problema:
Data $g : RR^(5) -> RR^(8)$ lineare con $g(e1) + g(e5) = 0$ che dimensione può avere $X sub R^8$ tale che
$X nn Im(g) = {0}$ e $X+Im(g) = R^8$
Ragionando sul primo punto:
Il fatto che $g(e1) + g(e5) = 0$ ci dice che $dim(Im(g)) <= 4$

Secondo punto:
$X nn Im(g) = {0}$ significa che $dim(XnnImg(g)) = 0$

Ultimo punto
$X+Im(g) = R^8$ implica che $dim(X) + dim(Im(g)) = 8$ ovvero $dim(X) = 8 - dim(Im(g))$

Quindi siccome $dim(Im(g)) <= 4$ Le possibilità sono
$dim(X) = 8 - 4 = 4$
$dim(X) = 8 - 3 = 5$
$dim(X) = 8 - 2 = 6$
$dim(X) = 8 - 1 = 7$
$dim(X) = 8 - 0 = 8$

Soluzione
$4 <= dim(X) <= 8$

[LeRoi1]

Ragionando sul primo punto:
Il fatto che g(e1)+g(e5)=0 ci dice che dim(Im(g))≤4

perchè $<=$4??

sono negato...