[algebra lineare] funzioni lineari
http://www.math.unipd.it/~bottacin/esami/20130709A.pdf
qualcuno potrebbe aiutermi a svolgere il primo esercizio del compito?
Non è mai stato svolto un esercizio di questo tipo in classe e non so dove mettere le mani!
Grazie a tutti.
qualcuno potrebbe aiutermi a svolgere il primo esercizio del compito?
Non è mai stato svolto un esercizio di questo tipo in classe e non so dove mettere le mani!
Grazie a tutti.
Risposte
ciao Circe, se vuoi possiamo svolgerne insieme un pezzo per volta, a turno, visto che vorrei fare anch'io qualche tema (meglio in compagnia 
).
Comincio io....
1) Scriviamo dapprima esplicitamente l'insieme $ Gamma f $, immagine di f [correggo: il grafico di f].
$ ( ( y_1 ),( y_2 ) ) = ( ( t-1 , 0 ),( -2 , -2t ) ) ((x_1),(x_2))=(((t-1)x_1),(-2x_1-2tx_2)) $
$Gamma f = (x_1, x_2, (t-1)x_1,-2x_1-2tx_2) $
2) Ora determiniamo se g è iniettiva. Lo è se il suo nucleo contiene solo il vettore nullo, cioè se $g((x),(y))= bar (0) $ implica $((x),(y)) = bar(0)$.
Ma $g((x),(y))= ((2,1),(1, -1))((x),( y))$, quindi... tocca te.....
).Comincio io....
1) Scriviamo dapprima esplicitamente l'insieme $ Gamma f $, immagine di f [correggo: il grafico di f].
$ ( ( y_1 ),( y_2 ) ) = ( ( t-1 , 0 ),( -2 , -2t ) ) ((x_1),(x_2))=(((t-1)x_1),(-2x_1-2tx_2)) $
$Gamma f = (x_1, x_2, (t-1)x_1,-2x_1-2tx_2) $
2) Ora determiniamo se g è iniettiva. Lo è se il suo nucleo contiene solo il vettore nullo, cioè se $g((x),(y))= bar (0) $ implica $((x),(y)) = bar(0)$.
Ma $g((x),(y))= ((2,1),(1, -1))((x),( y))$, quindi... tocca te.....
p.s. ah, vedo che è il tuo primo messaggio: benvenuta allora 
g è iniettiva, in quanto dim ker(g)=0.
Per trovare per che valori di t per cui f non è iniettiva risolvo il sistema:
(t-1)x=0
-2x-2ty=0
e trovo il valore t=1, per cui la funzione non è iniettiva.
correggimi se sbaglio.
Per trovare per che valori di t per cui f non è iniettiva risolvo il sistema:
(t-1)x=0
-2x-2ty=0
e trovo il valore t=1, per cui la funzione non è iniettiva.
correggimi se sbaglio.
punto b)
(y1,y2) = {{2,1}, {1,-1}}*{{x1}, {x2}}
risolvo il sistema e trovo l'immagine: x1,x2, 2x1+x2, x1-x2
ora non mi è chiaro come trovare una base di questa funzione (io pensavo fosse semplicemente data dai vettori (2,1) e (1,-1), in quanto sono linearmente indipendenti), ma sicuramente non è così, se no sarebbe troppo facile.
per trovare a,b risolvo il sistema:
2x1+x2=5, x1-x2=4 ed ottengo a=5 b=1
è corretto?
(y1,y2) = {{2,1}, {1,-1}}*{{x1}, {x2}}
risolvo il sistema e trovo l'immagine: x1,x2, 2x1+x2, x1-x2
ora non mi è chiaro come trovare una base di questa funzione (io pensavo fosse semplicemente data dai vettori (2,1) e (1,-1), in quanto sono linearmente indipendenti), ma sicuramente non è così, se no sarebbe troppo facile.
per trovare a,b risolvo il sistema:
2x1+x2=5, x1-x2=4 ed ottengo a=5 b=1
è corretto?
Beh, Circe, sperando di non essere trasformato in maiale, ci sei quasi con la base, infatti essendo di dimensione 4 avrà vettori di 4 coordinate.. Qual è il vettore che applicato a g ti da $((2),(1))$?Chiamiamolo $v=((v_1),(v_2))$ E quale ti da $((1),(-1))$?Chiamiamolo $w=((w_1),(w_2))$
La base sarà:$<((v_1),(v_2),(2),(1)) , ((w_1),(w_2),(1),(-1))>$
Lascio a te i conti, son banali
Nella soluzione del sistema non capisco perché sei arrivata a quella conclusione:
${(2x_1 + x_2=4), (x_1-x_2=5):}=>{(3x_1 =9), (x_1-x_2=5):}=>{(x_1=3), (x_2=-2):}$
Quindi il vettore è:
$((3),(2),(4),(5))$
La base sarà:$<((v_1),(v_2),(2),(1)) , ((w_1),(w_2),(1),(-1))>$
Lascio a te i conti, son banali
Nella soluzione del sistema non capisco perché sei arrivata a quella conclusione:
${(2x_1 + x_2=4), (x_1-x_2=5):}=>{(3x_1 =9), (x_1-x_2=5):}=>{(x_1=3), (x_2=-2):}$
Quindi il vettore è:
$((3),(2),(4),(5))$
Per la g mi viene la stessa cosa, mentre la f mi risulta non iniettiva anche per t = 0, oltre che per t =1.
Non sono esperta, controlla anche tu quello che scrivo. Quattro occhi vedono meglio
3) Per la base dell'immagine di g, anche a me viene lo stesso. (2,1)(1,-1)
"circe123":
correggimi se sbaglio.
Non sono esperta, controlla anche tu quello che scrivo. Quattro occhi vedono meglio
3) Per la base dell'immagine di g, anche a me viene lo stesso. (2,1)(1,-1)
Risoluzione in comitiva 
Ciao Maci, perché in R4? Non R2? Non è che confondiamo l'immagine col grafico? (pure io prima...)
Ciao Maci, perché in R4? Non R2? Non è che confondiamo l'immagine col grafico? (pure io prima...)
"Maci86":
Beh, Circe, sperando di non essere trasformato in maiale, ci sei quasi con la base, infatti essendo di dimensione 4 avrà vettori di 4 coordinate.. Qual è il vettore che applicato a g ti da $((2),(1))$?Chiamiamolo $v=((v_1),(v_2))$ E quale ti da $((1),(-1))$?Chiamiamolo $w=((w_1),(w_2))$
La base sarà:$<((v_1),(v_2),(2),(1)) , ((w_1),(w_2),(1),(-1))>$
Lascio a te i conti, son banali
Nella soluzione del sistema non capisco perché sei arrivata a quella conclusione:
${(2x_1 + x_2=4), (x_1-x_2=5):}=>{(3x_1 =9), (x_1-x_2=5):}=>{(x_1=3), (x_2=-2):}$
Quindi il vettore è:
$((3),(2),(4),(5))$
per trovare v1,v2, devo semplicemente moltiplicare la matrice g per (2,1), esatto?
"jitter":
Per la g mi viene la stessa cosa, mentre la f mi risulta non iniettiva anche per t = 0, oltre che per t =1.
[quote="circe123"]correggimi se sbaglio.
Non sono esperta, controlla anche tu quello che scrivo. Quattro occhi vedono meglio
3) Per la base dell'immagine di g, anche a me viene lo stesso. (2,1)(1,-1)[/quote]
si, hai ragione per quanto riguarda t=0...
No, scusa, hai ragione tu: vuole una base del grafico!
No, il contrario devi trovare quali $v_1$ e $v_2$ ti portano a $((2),(1))$ ;D
"jitter":
No, scusa, hai ragione tu: vuole una base del grafico!
nel caso richiedesse la base del grafico, come dovrei fare?
.... ma mi sembrava giusto il ragionamento di Circe, tranne che per il fatto che andava considerato il grafico e non l'immagine di g.
Quindi
$(x1, x2, 2x_1+x_2, x_1-x_2)$ è $Gamma g$.
Una sua base: (1,0,2,1),(0,1,1,-1).
ok?
Quindi
$(x1, x2, 2x_1+x_2, x_1-x_2)$ è $Gamma g$.
Una sua base: (1,0,2,1),(0,1,1,-1).
ok?
si, hai ragione è la base del grafico..
grazie per l'aiuto.. il mio professore non ha mai trattato funzioni lineari di questo tipo, ma solo quelle banali con i vettori e poi al compito capitano ste cose...
grazie per l'aiuto.. il mio professore non ha mai trattato funzioni lineari di questo tipo, ma solo quelle banali con i vettori e poi al compito capitano ste cose...
Grazie a te...
Se questa base è corretta, possiamo riprendere la seconda parte del punto b.
$ ( a,b,4,5 ) = x((1,0,2,1)+y(0,1,1,-1) $
Mi viene x=3, y = -2. [correggo: a=3, b=-2].
Aspetto vostri ordini o contrordini
p.s, Ma i risultati per confrontare non ci sono, vero?
Se questa base è corretta, possiamo riprendere la seconda parte del punto b.
$ ( a,b,4,5 ) = x((1,0,2,1)+y(0,1,1,-1) $
Mi viene x=3, y = -2. [correggo: a=3, b=-2].
Aspetto vostri ordini o contrordini
p.s, Ma i risultati per confrontare non ci sono, vero?
no, non ci sono risultati.. magari..
peccato!
p.s. non x, y ma a,b (nel post precedente)
p.s. non x, y ma a,b (nel post precedente)
"jitter":
.... ma mi sembrava giusto il ragionamento di Circe, tranne che per il fatto che andava considerato il grafico e non l'immagine di g.
Quindi
$(x1, x2, 2x_1+x_2, x_1-x_2)$ è $Gamma g$.
Una sua base: (1,0,2,1),(0,1,1,-1).
ok?
per trovare la base di rf, nel caso di y1,y2 poni x1 e x2 nella riga o nella Colonna?
"circe123":
per trovare la base di rf, nel caso di y1,y2 poni x1 e x2 nella riga o nella Colonna?
Non so se ho capito bene... la tua domanda è su come si esprime il grafico $Gamma_f$, l'"analogo" di $Gamma_g$, e come si trova una base?
Per come è definito nel testo, secondo me è $Gamma f $ = $ (x_1, x_2, (t-1)x_1,-2x_1-2tx_2) $ (al posto di $y_1$ e $y_2$ ho scritto l'immagine di ($x_1, x_2$) mediante la f).
Una base è (1, 0, t-1, -2), (0, 1, 0, -2t).
Era questa la domanda? Ti torna?
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