[Algebra lineare] Esercizio su prodotto hermitiano
Salve a tutti!
Affrontavo il seguente problema di algebra lineare con cui ho avuto qualche problema. La traccia è:
Sia $\psi : CC_2 [t] * CC_2 [t] -> CC$, definita da $\psi (f,g) = f(0) g(0) + f^{\prime} (0) g^{\prime}(0) + f^{\prime}'(0) g^{\prime}'(0)$;
i) si provi che $\Psi$ non è un prodotto scalare hermitiano in $CC_2 [t]$;
ii) si indichino $f,g in CC_2 [t]$ tali che $\psi (f,f) = -1, \psi (g,g) = 0 $, rispettivamente;
iii) si indichi$ {h in CC_2 [t] | \psi (h, 1 + it - it^2) = 0 }$.
Ho cercato di svolgere il primo punto dell'esercizio ma ho subito incontrato dei problemi a risolverlo. Per verificare che non sia un prodotto scalare hermitiano, basta dimostrare che non sia verificata la proprietà dell'autoprodotto, cioè non si deve verificare che:
$ { ( v*v >= 0 ),( v*v = 0 ):} $ se e solo se $v=0$.
Io ho proceduto in questo modo; siccome $\psi (f,g) = f(0) g(0) + f^{\prime} (0) g^{\prime}(0) + f^{\prime}'(0) g^{\prime}'(0)$ si ha:
$\psi (f,f) = f(0) f(0) + f^{\prime} (0) f^{\prime}(0) + f^{\prime}'(0) f^{\prime}'(0) = f^2 (0) + f^('2) (0) + f^(''2) (0)$
definisco la funzione $f = A t^2 + B t + C$ da cui si ottiene, sostituendo le derivate, $ \psi (f,f) = C^2 + B^2 + A^2$.
Da qui non so più proseguire in quanto $\psi (f,f) = C^2 + B^2 + A^2$ è sicuramente maggiore o uguale di zero a prescindere dal valore di $t$.
Qualcuno può darmi una mano con la risoluzione dell'esercizio? Grazie a tutti!
Affrontavo il seguente problema di algebra lineare con cui ho avuto qualche problema. La traccia è:
Sia $\psi : CC_2 [t] * CC_2 [t] -> CC$, definita da $\psi (f,g) = f(0) g(0) + f^{\prime} (0) g^{\prime}(0) + f^{\prime}'(0) g^{\prime}'(0)$;
i) si provi che $\Psi$ non è un prodotto scalare hermitiano in $CC_2 [t]$;
ii) si indichino $f,g in CC_2 [t]$ tali che $\psi (f,f) = -1, \psi (g,g) = 0 $, rispettivamente;
iii) si indichi$ {h in CC_2 [t] | \psi (h, 1 + it - it^2) = 0 }$.
Ho cercato di svolgere il primo punto dell'esercizio ma ho subito incontrato dei problemi a risolverlo. Per verificare che non sia un prodotto scalare hermitiano, basta dimostrare che non sia verificata la proprietà dell'autoprodotto, cioè non si deve verificare che:
$ { ( v*v >= 0 ),( v*v = 0 ):} $ se e solo se $v=0$.
Io ho proceduto in questo modo; siccome $\psi (f,g) = f(0) g(0) + f^{\prime} (0) g^{\prime}(0) + f^{\prime}'(0) g^{\prime}'(0)$ si ha:
$\psi (f,f) = f(0) f(0) + f^{\prime} (0) f^{\prime}(0) + f^{\prime}'(0) f^{\prime}'(0) = f^2 (0) + f^('2) (0) + f^(''2) (0)$
definisco la funzione $f = A t^2 + B t + C$ da cui si ottiene, sostituendo le derivate, $ \psi (f,f) = C^2 + B^2 + A^2$.
Da qui non so più proseguire in quanto $\psi (f,f) = C^2 + B^2 + A^2$ è sicuramente maggiore o uguale di zero a prescindere dal valore di $t$.
Qualcuno può darmi una mano con la risoluzione dell'esercizio? Grazie a tutti!
Risposte
Qualcuno sa aiutarmi?
Interesserebbe anche a me..
Purtroppo è da più di due settimane che cerco aiuto per questo esercizio ma nessuno ha ancora risposto.
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