Algebra lineare e Geometria
Ci sono un paio di esercizi che non mi riescono, uno di algebra lineare e uno di geometria. Quello di algebra è:
Sia V lo spazio dei vettori liberi e siano v1, v2, v3 appartenenti a V linearmente indipendenti; sia f appartenente a End(V) definito da:
$f(v1)= v2 + v3 ; f(v2)= v3 + 2v1 ; f(v3)= f(v1) - f(v2) $ Descrivere ker f e Im f determinandone una dimensione e una base. Determinare inoltre autovalori e autovettori di f e discuterne la diagonalizzabilità.
Allora il ker f penso di averlo fatto giusto (se mi dite quanto vi torna mi fate un piacere), poi però imposto il calcolo per la base ma mi blocco.. Pe ril calcolo degli autovalori ho impostato il calcolo col polinomio caratteristico, ma anche lì mi sono fermata perchè ho provato a calcolare il determinante con Sarrus, ma mi venivano dei valori piuttosto improbabili..La diagonalizzabilità chiaramente va guardata dopo aver trovato autovalori ecc..
Potete aiutarmi?
L'esercizio di geometria mi sembra piuttosto semplice, ma proprio non riesco a impostarlo!! Senza scriveri numeri o altro, data una retta (descritta ovviamente da due equazioni) e un piano, devo determinare il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti dalla retta e dal piano. Avete idee?
Grazie mille in anticipo per gli aiuti!!
Sia V lo spazio dei vettori liberi e siano v1, v2, v3 appartenenti a V linearmente indipendenti; sia f appartenente a End(V) definito da:
$f(v1)= v2 + v3 ; f(v2)= v3 + 2v1 ; f(v3)= f(v1) - f(v2) $ Descrivere ker f e Im f determinandone una dimensione e una base. Determinare inoltre autovalori e autovettori di f e discuterne la diagonalizzabilità.
Allora il ker f penso di averlo fatto giusto (se mi dite quanto vi torna mi fate un piacere), poi però imposto il calcolo per la base ma mi blocco.. Pe ril calcolo degli autovalori ho impostato il calcolo col polinomio caratteristico, ma anche lì mi sono fermata perchè ho provato a calcolare il determinante con Sarrus, ma mi venivano dei valori piuttosto improbabili..La diagonalizzabilità chiaramente va guardata dopo aver trovato autovalori ecc..
Potete aiutarmi?
L'esercizio di geometria mi sembra piuttosto semplice, ma proprio non riesco a impostarlo!! Senza scriveri numeri o altro, data una retta (descritta ovviamente da due equazioni) e un piano, devo determinare il luogo geometrico dei punti dello spazio equidistanti dalla retta e dal piano. Avete idee?
Grazie mille in anticipo per gli aiuti!!
Risposte
Per favore, anche solo qualche spunto 
o solo i risultati...!
o solo i risultati...!
Per quanto riguarda l'esercizio di geometria, devi provare a ragionare così.
Prendi un punto generico dello spazio, ed imponi che la distanza del punto dalla retta, sia uguale alla distanza del punto dal piano.
oppure, se la retta e il piano sono paralleli, su un piano perpendicolare, individuano un punto ed una retta. Su questo piano l'insieme dei punti equidistanti dal punto e dalla retta, è rappresentato da una parabola. non parametrizzando la terza dimensione, ti viene un cilindro parabolico
Prendi un punto generico dello spazio, ed imponi che la distanza del punto dalla retta, sia uguale alla distanza del punto dal piano.
oppure, se la retta e il piano sono paralleli, su un piano perpendicolare, individuano un punto ed una retta. Su questo piano l'insieme dei punti equidistanti dal punto e dalla retta, è rappresentato da una parabola. non parametrizzando la terza dimensione, ti viene un cilindro parabolico
Si ho provato, solo che quando faccio la distanza punto retta devo utilizzare prima fare l'intersezione del piano perpendicolare alla retta passante per il punto con la retta, è mi rimane "d" che non conosco.. va bene?
E per algebra?
E per algebra?
Ti torna che rimane una "d"?
A nessuno viene in mente niente???
Per il primo nota che \(\displaystyle f(H) \subseteq H\) dove \(H = \mathcal{L}(v_1, v_2, v_3)\). A dire il vero non afferma assolutamente niente su come sia definito \(\displaystyle f \) su un complementare \(\displaystyle H' \) di \(\displaystyle H \) rendendo poco sensate le varie domande nel caso in cui \(\displaystyle \dim V > 3 \). Specialmente quelle che seguono la domanda sull'immagine. Immagino che si debba supporre che \(\displaystyle \{v_i\} \) sia in realtà una base o che si richieda di risolvere il problema per \(\displaystyle f|_H \in \mathrm{End}(H) \) (il perché è così lo si vede nel primo commento).
Siccome \{v_1\} è la nostra base puoi portare tutto il problema in \(\displaystyle \mathbf{R}^3 \). In questo caso \(\displaystyle f \) è definito come \(\displaystyle f\bigl((1,0,0)\bigl) = (0,1,1) \) , \(\displaystyle f\bigl((0,1,0)\bigl) = (2,0,1) \) e \(\displaystyle f((0,0,1)) = (1,0,0)-(2,0,1) = (-1,0,-1) \). Avevi trovato le stesse cose? Comunque da qui in poi è un esercizio molto standard.
Passiamo al secondo. Devi distinguere tre casi: (1) la retta è parallela al piano, (2) la retta è interna al piano, (3) la retta e il piano hanno solo un elemento in comune.
Al di là del punto (2) in cui il luogo coincide con i punti del piano passante per la retta e perpendicolare al piano dato. Ti invito a ragionare in termini di intersezione di questo luogo con i piani passanti per la retta nel caso (3) o perpendicolari ad essa nel caso (1). Ti ritroveresti a risolvere lo stesso problema con due rette nel pinao nel caso (3) e una retta e un punto nel caso (1).
Le soluzioni sono infine (1) cilindro parabolico, (2) piano, (3) cono.
Siccome \{v_1\} è la nostra base puoi portare tutto il problema in \(\displaystyle \mathbf{R}^3 \). In questo caso \(\displaystyle f \) è definito come \(\displaystyle f\bigl((1,0,0)\bigl) = (0,1,1) \) , \(\displaystyle f\bigl((0,1,0)\bigl) = (2,0,1) \) e \(\displaystyle f((0,0,1)) = (1,0,0)-(2,0,1) = (-1,0,-1) \). Avevi trovato le stesse cose? Comunque da qui in poi è un esercizio molto standard.
Passiamo al secondo. Devi distinguere tre casi: (1) la retta è parallela al piano, (2) la retta è interna al piano, (3) la retta e il piano hanno solo un elemento in comune.
Al di là del punto (2) in cui il luogo coincide con i punti del piano passante per la retta e perpendicolare al piano dato. Ti invito a ragionare in termini di intersezione di questo luogo con i piani passanti per la retta nel caso (3) o perpendicolari ad essa nel caso (1). Ti ritroveresti a risolvere lo stesso problema con due rette nel pinao nel caso (3) e una retta e un punto nel caso (1).
Le soluzioni sono infine (1) cilindro parabolico, (2) piano, (3) cono.
Sul secondo sono forse stato un po' poco formale. Vediamo di capirlo come farlo formalmente.
Suppongo si abbia \(\displaystyle \ell = P_0 + t\mathbf{v} \) e \(\displaystyle \pi = \bigl[\langle Q - Q_0, \mathbf{u}\rangle = 0\bigr] \). Segno inoltre con \(\displaystyle d(P, \pi) \) e \(\displaystyle d(P, \ell) \) le distanze da \(\displaystyle P \) a \(\displaystyle \pi \) e \(\displaystyle \ell \) rispettivamente e con \(\displaystyle \rho_{\pi}(P) \) e \(\displaystyle \rho_{\ell}(P) \) la sua proiezione ortogonale sui relativi spazi affini. Infine \(\displaystyle d(\ell, \pi) \) è la distanza tra la retta e il piano.
Siccome non sono state date equazioni, a noi interessano le equazioni di quegli spazi a meno di trasformazioni affini. Risulta quindi utile sfruttare le trasformazioni affini per portarci a espressioni di \(\displaystyle \ell \) e \(\displaystyle \pi \) che siano convenienti per i calcoli.
Quindi a meno di una trasformazione affine ed eventuali riparametrizzazioni degli spazi possiamo supporre che:
[list=1][*:3gpiymtn] Il piano \(\displaystyle \pi \) coincida con il piano \(\displaystyle [z = 0] \) ovvero \(\displaystyle \pi = \bigl[\langle Q - O, \mathbf{e}_z\rangle = 0\bigr] \). Insomma \(\displaystyle Q_0 = O \) e \(\displaystyle \mathbf{u} = \mathbf{e}_z \).[/*:m:3gpiymtn]
[*:3gpiymtn] Si abbia \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_y\rangle \ge 0 \), \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_y\rangle = 0 \) e \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_z\rangle \ge 0 \).[/*:m:3gpiymtn]
[*:3gpiymtn] Infine \(\displaystyle O \) e \(\displaystyle P_0 \) sono tali che \(\displaystyle P_0 = \bigl(0,0,d(\pi,\ell)\bigr) \). Ovviamente \(\displaystyle O = \rho_{\pi}(P_0) \). [/*:m:3gpiymtn][/list:o:3gpiymtn]
Notiamo che in questa situazione per \(\displaystyle P=(x,y,z) \), \(\displaystyle d(P,\pi) = z \). Questo facilita molto le cose.
Dividiamo per casi.
(1) \(\displaystyle \ell \subset \pi \). In questo caso si ha che \(\displaystyle \ell = O + t\mathbf{e}_x \). Pertanto \(\displaystyle d(P,\pi) = z \) mentre \(\displaystyle d(P,\ell) = \sqrt{z^2 + y^2} \). È evidente che essendo \(\displaystyle z^2 + y^2 > z^2 \) per \(\displaystyle y\neq 0 \). L'uguaglianza si ha solo nel piano \(\displaystyle [y=0] \).
(2) \(\displaystyle \ell \cap \pi = \emptyset \). In questo caso si ha \(\displaystyle O \neq P_0 \) e \(\displaystyle \ell = P_0 + t\mathbf{e}_x \). Per comodità sia \(\displaystyle d = d(\ell,\pi) \). Allora \(\displaystyle d(P,\ell) = \sqrt{y^2 + (z-d)^2} \). Questa uguaglianza è un leggermente meno immediata, ma non di molto. In pratica \(\displaystyle z^2 = y^2 + (z-d)^2 \) quindi \(\displaystyle z^2 - y^2 -z^2 +2dz -d^2 = 0 \) e semplificando ricavi la condizione \(\displaystyle y^2 = 2dz -d^2 \). Ovviamente non ci sono condizioni su \(\displaystyle x \) quindi diventa un cilindro parabolico.
(3) \(\displaystyle \ell \cap \pi = \{ O\} \). In questo caso \(\displaystyle O = P_0 \) (come in (1) ) e \(\displaystyle \ell = O + t\alpha\mathbf{e}_x + t\mathbf{e}_z \) con \(\displaystyle \alpha\ge 0 \) (può essere 0). Il calcolo in questo caso diventa un po' più lungo degli altri casi. Ti basta comunque applicare la solita forma della distanza per \(\displaystyle \ell \) e uguagliare alla distanza da \(\displaystyle \pi \).
Suppongo si abbia \(\displaystyle \ell = P_0 + t\mathbf{v} \) e \(\displaystyle \pi = \bigl[\langle Q - Q_0, \mathbf{u}\rangle = 0\bigr] \). Segno inoltre con \(\displaystyle d(P, \pi) \) e \(\displaystyle d(P, \ell) \) le distanze da \(\displaystyle P \) a \(\displaystyle \pi \) e \(\displaystyle \ell \) rispettivamente e con \(\displaystyle \rho_{\pi}(P) \) e \(\displaystyle \rho_{\ell}(P) \) la sua proiezione ortogonale sui relativi spazi affini. Infine \(\displaystyle d(\ell, \pi) \) è la distanza tra la retta e il piano.
Siccome non sono state date equazioni, a noi interessano le equazioni di quegli spazi a meno di trasformazioni affini. Risulta quindi utile sfruttare le trasformazioni affini per portarci a espressioni di \(\displaystyle \ell \) e \(\displaystyle \pi \) che siano convenienti per i calcoli.
Quindi a meno di una trasformazione affine ed eventuali riparametrizzazioni degli spazi possiamo supporre che:
[list=1][*:3gpiymtn] Il piano \(\displaystyle \pi \) coincida con il piano \(\displaystyle [z = 0] \) ovvero \(\displaystyle \pi = \bigl[\langle Q - O, \mathbf{e}_z\rangle = 0\bigr] \). Insomma \(\displaystyle Q_0 = O \) e \(\displaystyle \mathbf{u} = \mathbf{e}_z \).[/*:m:3gpiymtn]
[*:3gpiymtn] Si abbia \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_y\rangle \ge 0 \), \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_y\rangle = 0 \) e \(\displaystyle \langle \mathbf{v}, \mathbf{e}_z\rangle \ge 0 \).[/*:m:3gpiymtn]
[*:3gpiymtn] Infine \(\displaystyle O \) e \(\displaystyle P_0 \) sono tali che \(\displaystyle P_0 = \bigl(0,0,d(\pi,\ell)\bigr) \). Ovviamente \(\displaystyle O = \rho_{\pi}(P_0) \). [/*:m:3gpiymtn][/list:o:3gpiymtn]
Notiamo che in questa situazione per \(\displaystyle P=(x,y,z) \), \(\displaystyle d(P,\pi) = z \). Questo facilita molto le cose.
Dividiamo per casi.
(1) \(\displaystyle \ell \subset \pi \). In questo caso si ha che \(\displaystyle \ell = O + t\mathbf{e}_x \). Pertanto \(\displaystyle d(P,\pi) = z \) mentre \(\displaystyle d(P,\ell) = \sqrt{z^2 + y^2} \). È evidente che essendo \(\displaystyle z^2 + y^2 > z^2 \) per \(\displaystyle y\neq 0 \). L'uguaglianza si ha solo nel piano \(\displaystyle [y=0] \).
(2) \(\displaystyle \ell \cap \pi = \emptyset \). In questo caso si ha \(\displaystyle O \neq P_0 \) e \(\displaystyle \ell = P_0 + t\mathbf{e}_x \). Per comodità sia \(\displaystyle d = d(\ell,\pi) \). Allora \(\displaystyle d(P,\ell) = \sqrt{y^2 + (z-d)^2} \). Questa uguaglianza è un leggermente meno immediata, ma non di molto. In pratica \(\displaystyle z^2 = y^2 + (z-d)^2 \) quindi \(\displaystyle z^2 - y^2 -z^2 +2dz -d^2 = 0 \) e semplificando ricavi la condizione \(\displaystyle y^2 = 2dz -d^2 \). Ovviamente non ci sono condizioni su \(\displaystyle x \) quindi diventa un cilindro parabolico.
(3) \(\displaystyle \ell \cap \pi = \{ O\} \). In questo caso \(\displaystyle O = P_0 \) (come in (1) ) e \(\displaystyle \ell = O + t\alpha\mathbf{e}_x + t\mathbf{e}_z \) con \(\displaystyle \alpha\ge 0 \) (può essere 0). Il calcolo in questo caso diventa un po' più lungo degli altri casi. Ti basta comunque applicare la solita forma della distanza per \(\displaystyle \ell \) e uguagliare alla distanza da \(\displaystyle \pi \).
Si perfetto grazie mille!!!
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