Algebra lineare BASI
Ciao, ho qualche dubbio su due es:
1) i polinomi $p_1(x)=1/2x(x-1)$ , $p_2(x)=(x-1)(x+1)$ , $p_3(x)=1/2x(x+1)$ sono una base dello spazio vettoriale di grado due $P^2$??
procedimento:
sia $p(x)=alpha+betax+gammax^2$. Determiniamo se esistono $a_1,a_2,a_3$ tali che:
$a_1p_1(x)+a_2p_2(x)+a_3p_3(x)=alpha+betax+gammax^2$
per $x=-1$ si ha $a_1=alpha-beta+gamma$. Per x=0 si ha $a_2=alpha$. Per $x=1$ si ha$a_3=alpha+beta+gamma$
come mai prendo x=0, x=1 e x=-1?? ho capito il procedimento che viene dopo..
2)Calcolare le coordinate del vettore $v=(-2,0,3)$ rispetto alla base $(1,1,1)(1,-1,1)(1,2,3)$ dove $v_1=(1,1,1)$ , $v_2=(1,-1,1)$ e $v_3=(1,2,3)$
Si pone $a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=(-2,0,3)$ e il sistema che vien fuori ha le seguenti equazioni??
$a_1+a_2+a_3=-2$
$a_1-a_2+2a_3=0$
$a_1+a_2+3a_3=3$
grazie mille ciao!!
1) i polinomi $p_1(x)=1/2x(x-1)$ , $p_2(x)=(x-1)(x+1)$ , $p_3(x)=1/2x(x+1)$ sono una base dello spazio vettoriale di grado due $P^2$??
procedimento:
sia $p(x)=alpha+betax+gammax^2$. Determiniamo se esistono $a_1,a_2,a_3$ tali che:
$a_1p_1(x)+a_2p_2(x)+a_3p_3(x)=alpha+betax+gammax^2$
per $x=-1$ si ha $a_1=alpha-beta+gamma$. Per x=0 si ha $a_2=alpha$. Per $x=1$ si ha$a_3=alpha+beta+gamma$
come mai prendo x=0, x=1 e x=-1?? ho capito il procedimento che viene dopo..
2)Calcolare le coordinate del vettore $v=(-2,0,3)$ rispetto alla base $(1,1,1)(1,-1,1)(1,2,3)$ dove $v_1=(1,1,1)$ , $v_2=(1,-1,1)$ e $v_3=(1,2,3)$
Si pone $a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=(-2,0,3)$ e il sistema che vien fuori ha le seguenti equazioni??
$a_1+a_2+a_3=-2$
$a_1-a_2+2a_3=0$
$a_1+a_2+3a_3=3$
grazie mille ciao!!
Risposte
1) perché 0,1,-1 sono soluzioni dei polinomi p1,p2,p3
2) il sistema sembra quello giusto...
2) il sistema sembra quello giusto...
ok grazie mille sonja...
1) ma quindi quando ho i polinomi devo sempre prendere le soluzioni?
2) ho provato a risolvere il sistema ma io nn ottengo i risultati delle dispense, chiedo troppo se vi chiedo una conferma?
le dispense danno $a_1=5/2$, $a_2=1/4$ e $a_3=19/4$
1) ma quindi quando ho i polinomi devo sempre prendere le soluzioni?
2) ho provato a risolvere il sistema ma io nn ottengo i risultati delle dispense, chiedo troppo se vi chiedo una conferma?
le dispense danno $a_1=5/2$, $a_2=1/4$ e $a_3=19/4$
beh... le soluzioni dei polinomi sono un bel trucchetto da usare per risparmiarsi un po' di conti...
per quanto riguarda l'altro... credo ci sia un errore sulle dispense... se $a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=(-2,0,3)$ e scegli $a_1=5/2$, $a_2=1/4$ e $a_3=19/4$ trovi subito un problema con la prima componente...
per quanto riguarda l'altro... credo ci sia un errore sulle dispense... se $a_1v_1+a_2v_2+a_3v_3=(-2,0,3)$ e scegli $a_1=5/2$, $a_2=1/4$ e $a_3=19/4$ trovi subito un problema con la prima componente...
ti ringrazio ancora...l ho rifatto e le soluzioni erano giuste ma i pedici delle a sbagliati...!!
mi sfugge ancora una cosa in una dimostrazione:
In uno spazio vettoriale V i vettori $v_1,v_2,.....v_n$ con $n>=2£ sono linearmente dipendenti se e solo se uno dei vettori si puo esprimere come combinazione lineare dei restanti.
DIMOSTRAZIONE:
E sempre possibile con un opportuno riarrangiamento di indice esprimere $v_1$ come $v_1=-a_2v_2-a_3v_3.....-a_n_v_n$ e i vettori sono quindi linearmente DIPENDENTI.
la domanda e nell espressione $v_1=-a_2v_2-a_3v_3.....-a_n_v_n$ come mai nn compare $a_1$??
grazie mille ciao!!
In uno spazio vettoriale V i vettori $v_1,v_2,.....v_n$ con $n>=2£ sono linearmente dipendenti se e solo se uno dei vettori si puo esprimere come combinazione lineare dei restanti.
DIMOSTRAZIONE:
E sempre possibile con un opportuno riarrangiamento di indice esprimere $v_1$ come $v_1=-a_2v_2-a_3v_3.....-a_n_v_n$ e i vettori sono quindi linearmente DIPENDENTI.
la domanda e nell espressione $v_1=-a_2v_2-a_3v_3.....-a_n_v_n$ come mai nn compare $a_1$??
grazie mille ciao!!
allora. siccome sai che li $a_i$ sono non tutti nulli allora puoi sempre riordinarli in modo che $a_1\neq0$ considera che sei sempre in un campo e quindi puoi dividere per $a_1$... in effetti nell'espressione $v_1=-a_2v_2-a_3v_3.....-a_n_v_n$ al posto degli $a_i$ bisognerebbe mettere $b_i$ definiti come
$b_i=\frac{a_i}{a_1}$
ma questo è un abuso di notazione piuttosto usuale...
$b_i=\frac{a_i}{a_1}$
ma questo è un abuso di notazione piuttosto usuale...
il computer nn mi visualizza la scrittura delle formule e nn capisco alcune cosette
riproviamo....
allora. siccome sai che li $a_i$ sono non tutti nulli allora puoi sempre riordinarli in modo che $a_1!=0$ considera che sei sempre in un campo e quindi puoi dividere per $a_1$... in effetti nell'espressione $v_1=-a_2v_2-a_3v_3.....-a_nv_n$ al posto degli $a_i$ bisognerebbe mettere $b_i$ definiti come
$b_i=\frac(a_i)/(a_1)$
ma questo è un abuso di notazione piuttosto usuale...
allora. siccome sai che li $a_i$ sono non tutti nulli allora puoi sempre riordinarli in modo che $a_1!=0$ considera che sei sempre in un campo e quindi puoi dividere per $a_1$... in effetti nell'espressione $v_1=-a_2v_2-a_3v_3.....-a_nv_n$ al posto degli $a_i$ bisognerebbe mettere $b_i$ definiti come
$b_i=\frac(a_i)/(a_1)$
ma questo è un abuso di notazione piuttosto usuale...
nn si visualizza di nuovo....cmq penso d aver capito!li nn fa vedere che divide tutto per $a_1$??grazie mille ciao
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