[Algebra Lineare] - Base di un sottospazio

[Gatto891]

Abbiamo affrontato le prime nozioni di algebra lineare teoricamente ma mi sono venuti dubbi su come partire, in pratica, a risolvere esercizi del genere:

Es.) Utilizzando esclusivamente operazioni sui vettori, trovare una base del sottospazio di $QQ^4$ generato dai seguenti vettori:

$v_1 = ((1, 1, 2, 3))$, $v_2 = ((3, 2, 1, 0))$, $v_3 = ((-1, 0, 3, 6))$, $v_4 = ((2, 2, 2, 2))$.

Impostando le operazioni, ho trovato che non sono linearmente indipendenti quindi sicuramente non generano $QQ^4$. Il mio dubbio è da dove partire ora per trovare una base di questo sottospazio..

[Rinhos]

"Gatto89":Abbiamo affrontato le prime nozioni di algebra lineare teoricamente ma mi sono venuti dubbi su come partire, in pratica, a risolvere esercizi del genere:

Es.) Utilizzando esclusivamente operazioni sui vettori, trovare una base del sottospazio di $QQ^4$ generato dai seguenti vettori:

$v_1 = ((1, 1, 2, 3))$, $v_2 = ((3, 2, 1, 0))$, $v_3 = ((-1, 0, 3, 6))$, $v_4 = ((2, 2, 2, 2))$.

Impostando le operazioni, ho trovato che non sono linearmente indipendenti quindi sicuramente non generano $QQ^4$. Il mio dubbio è da dove partire ora per trovare una base di questo sottospazio..

allora, impostando il sistema trovi che $v_3$ = $2v_1-v_2$ quindi basta che togli il vettore dipendente per trovare un insieme di generatori indipendenti quindi una base (non so se ci siano altri vettori dipendenti, non ho guardato)

EDIT i restanti vettori sono indipendenti. quindi la base cercata è $v_1= ((1),(1),(2),(3)) , v_2= ((3),(2),(1),(0)) , v_4= ((2),(2),(2),(2))$

[Gatto891]

Ok, due domande di conferma

Risolvendo il sistema $av_1 + bv_2 +cv_3 +dv_4 = ((0, 0, 0, 0))$ ottengo come soluzione $((a, b, c, d)) = ((-2c, c, c, 0))$.
Quindi il sistema non è indipendente, ma dipende dal parametro $c$ che può ovviamente assumere valori non nulli. Quindi $v_3$ è combinazione lineare dei primi due vettori, per cui prendendo solo i vettori $v1$, $v2$ e $v4$ ottengo necessariamente un sistema con vettori indipendenti.

Allora:
1) $v_3$ è combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$, ma volendo posso vedere anche $v_1$ come combinazione lineare di $v_2$ e $v_3$ o anche $v_2$.
Quindi, oltre alla base già citata ${v_1, v_2, v_4}$ sono basi anche ${v_1, v_3, v_4}$ e ${v_2, v_3, v_4}$ ?

2) In questo caso ho soltanto un parametro nella soluzione del sistema omogeneo di $n$ vettori, quindi posso supporre che esistano $n-1$ vettori indipendenti tra quelli.
Se invece i parametri fossero stati $m
Danke

[Rinhos]

"Gatto89":Ok, due domande di conferma

Risolvendo il sistema $av_1 + bv_2 +cv_3 +dv_4 = ((0, 0, 0, 0))$ ottengo come soluzione $((a, b, c, d)) = ((-2c, c, c, 0))$.
Quindi il sistema non è indipendente, ma dipende dal parametro $c$ che può ovviamente assumere valori non nulli. Quindi $v_3$ è combinazione lineare dei primi due vettori, per cui prendendo solo i vettori $v1$, $v2$ e $v4$ ottengo necessariamente un sistema con vettori indipendenti.

Allora:
1) $v_3$ è combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$, ma volendo posso vedere anche $v_1$ come combinazione lineare di $v_2$ e $v_3$ o anche $v_2$.
Quindi, oltre alla base già citata ${v_1, v_2, v_4}$ sono basi anche ${v_1, v_3, v_4}$ e ${v_2, v_3, v_4}$ ?

2) In questo caso ho soltanto un parametro nella soluzione del sistema omogeneo di $n$ vettori, quindi posso supporre che esistano $n-1$ vettori indipendenti tra quelli.
Se invece i parametri fossero stati $m
Danke

confermo entrambi i punti

[Gatto891]

Ok grazie, sei stato chiarissimo

[matematicamentenegato]

Ho riesumato questo vecchio post perchè vorrei delle risposte a delle domande che ronzano nella mia testa

Allora partendo dallo stesso esercizio postato sopra vorrei sapere se mettendo i vettori in una matrice (il primo vettore nella prima colonna e cosi via...), e riducendola a gradini ottengo sempre una base. Se si, quando conviene usare questo metodo?Grazie.

[ObServer]

"matematicamentenegato":Ho riesumato questo vecchio post perchè vorrei delle risposte a delle domande che ronzano nella mia testa

Allora partendo dallo stesso esercizio postato sopra vorrei sapere se mettendo i vettori in una matrice (il primo vettore nella prima colonna e cosi via...), e riducendola a gradini ottengo sempre una base. Se si, quando conviene usare questo metodo?Grazie.

Sì, è un metodo che funziona. Non ci sono particolari casi in cui merita di più utilizzarli rispetto ad altri casi. Sottolineo però che se tu metti i vettori in colonna e non in riga, allora devi precisare che la metterai in scala per colonne e non per righe, poichè lo spazio delle righe non sempre equivale lo spazio delle colonne. Insomma, se li metti in colonna, operi esclusivamente sulle colonne, se li metti in riga, operi in riga; ma non mischiare le cose perchè non pervieni ad una risposta. Nel caso di Gatto89, la matrice risultante sarebbe stata quadrata, e nonostante la dimensione dello spazio delle righe avrebbe equivalso la dimensione dello spazio delle colonne (per il teorema del rango, se non sbaglio), essi sarebbero stati due sottospazi differenti.

[matematicamentenegato]

Grazie per la risposta. Io ho ridotto la matrice formata dai suddetti vettori ordinati per colonne ed ho ottenuto questo risultato:

Matrice di partenza: $((1,3,-1,2),(1,2,0,2),(2,1,3,2),(3,0,6,2))$


Matrice ridotta : $((1,3,-1,2),(0,-1,1,0),(0,0,0,-4),(0,0,0,0))$

Ora però non saprei quali vettori formano la base. Estraendo un minore 3x3 ottengo rango 3 quindi dimensione 3 e quindi 3 vettori che formano la base...Ma i miei 3 vettori sarebbero poi $B= [(3,-1,0),(-1,1,0),(2,0,4)]$
ma non credo sia giusto....

[matematicamentenegato]

UP:-)

[matematicamentenegato]

Grazie mille per la risposta Sergio. In un esercizio svolto, preso da internet c'è unsottospazio di cui trovare una base. L'autore mette i vettori in colonna e poi riduce per righe...
ecco l'esercizio:

$ ( ( 1 , 0 , -2 ),( -1 ,1 , 3 ),( 2 , 1 , -3 ),( 0 , 1 , 1 ) )$

$( ( 1 , 0 , -2 ),( -1 , 1 , 3 ),( 2 , 1 , -3 ),( 0 , 1 , 1 ) )$


$( ( 1 , 0 , -2 ),( 0 , 1 , 1),( 0 , 1 , 1 ),( 0 , 1 , 1 ) )$ Questa è la matrice ridotta.

Ora l'esercizio conclude che siccome la matrice ha rango 2 ha dimensione 2.
La base per lo spazio colonne è: $B=(-1,1,2,0),(0,1,1,1)$
La base per lo spazio righe è $B=(1,0,-2),(-1,1,3)$

Ha trovato le due basi ordinando i vettori in colonne e riducendo solo per righe. Ma non dovrebbe mettere i vettori una volta in colonna e una volta in riga?
(l'esercizio è tratto da http://www.science.unitn.it/~carrara/ESERCIZIARIO/riunisci.pdf )

[matematicamentenegato]

"Sergio": Se mi dai un riferimento più preciso posso forse trovare il tempo di dare un'occhiata.

Grazie Sergio si in effetti dopo mi sono accorto che è di tipo diverso l'esercizio...(capitolo 7 esercizio 7.19) ma nel capitolo 7 io li trovo tutti svolti cosi...
Ma è probabile che sia io a confondermi...

[matematicamentenegato]

Se riesci puoi vedere come esempio la pagina 130 capitolo 7 esercizio 7.23. Grazie mille!