Algebra lineare, autovalori ed autovettori
Inanzitutto ciao a tutti, Sono Matteo e sono Calabrese, mi sono appena iscritto in questo forum perché girovagando per il web ho riscontrato in voi persone molto professionali e gentili, ma ora veniamo a noi 
Data la matrice (dipendente dal parametro reale $\alpha$ ):
A = $((\alpha,1,-1),(0,1,1),(0,0,-1))$
Polinomio caratteristico di A:
Banalmente $(1 -\lambda) * (\alpha -\lambda) * (1-\lambda)$
Autovalori di A: $ \lambda_1 = \alpha \lambda_2= -1 \lambda_3= 1$
QUI INIZIANO I PRIMI DUBBI, SCRIVO COME HO SVOLTO IO:
Autovalori RIPETUTI per $\alpha$: $\alpha_1=1 \alpha_2=-1$ Con questi valori avrebbero M.A=2
A è diagonalizzabile per ogni $\alpha$ tale che: La moltipilicità algebrica coincida con quella geometrica, $((\alpha -\lambda,1,-1),(0,1-\lambda,1),(0,0,-1-\lambda))$ perciò per $\alpha=1$ avremo $((0,1,-1),(0,0,1),(0,0,-2))$ che ha m.g= 3 -2 =1 e non coincide con la m.a=2 quindi per $\alpha=1$ non è diagonalizzabile giusto?
Mentre per $\alpha=-1$ avremo $((0,1,-1),(0,2,1),(0,0,0))$ che ha rango 1 quindi m.g= 2 quindi per $\alpha=-1$ sarà diagonalizzabile. (qua ho molti dubbi)
Matrice diagonalizzante S = $((1,3,1),(0,-1,1),(0,2,0))$ Questa prendetela per buona l'ho verificata più e più volte.
La matrice $S_* =[a + b, -b,3c]$ è ancora diagonalizzante per A?
Io ho scritto $S_*=((4,-1,2),(-3,1,-2),(3,3,0))$
Non riesco a capire se è diagonalizzante o meno. (HELP)
Nient'altro, grazie a tutti per le risposte e per la pazienza.[xdom="Martino"]Benvenuto nel forum. Sposto in Algebra lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
Data la matrice (dipendente dal parametro reale $\alpha$ ):
A = $((\alpha,1,-1),(0,1,1),(0,0,-1))$
Polinomio caratteristico di A:
Banalmente $(1 -\lambda) * (\alpha -\lambda) * (1-\lambda)$
Autovalori di A: $ \lambda_1 = \alpha \lambda_2= -1 \lambda_3= 1$
QUI INIZIANO I PRIMI DUBBI, SCRIVO COME HO SVOLTO IO:
Autovalori RIPETUTI per $\alpha$: $\alpha_1=1 \alpha_2=-1$ Con questi valori avrebbero M.A=2
A è diagonalizzabile per ogni $\alpha$ tale che: La moltipilicità algebrica coincida con quella geometrica, $((\alpha -\lambda,1,-1),(0,1-\lambda,1),(0,0,-1-\lambda))$ perciò per $\alpha=1$ avremo $((0,1,-1),(0,0,1),(0,0,-2))$ che ha m.g= 3 -2 =1 e non coincide con la m.a=2 quindi per $\alpha=1$ non è diagonalizzabile giusto?
Mentre per $\alpha=-1$ avremo $((0,1,-1),(0,2,1),(0,0,0))$ che ha rango 1 quindi m.g= 2 quindi per $\alpha=-1$ sarà diagonalizzabile. (qua ho molti dubbi)
Matrice diagonalizzante S = $((1,3,1),(0,-1,1),(0,2,0))$ Questa prendetela per buona l'ho verificata più e più volte.
La matrice $S_* =[a + b, -b,3c]$ è ancora diagonalizzante per A?
Io ho scritto $S_*=((4,-1,2),(-3,1,-2),(3,3,0))$
Non riesco a capire se è diagonalizzante o meno. (HELP)
Nient'altro, grazie a tutti per le risposte e per la pazienza.[xdom="Martino"]Benvenuto nel forum. Sposto in Algebra lineare. Attenzione alla sezione in futuro, grazie.[/xdom]
Risposte
Tu la matrice diagonalizzante l'hai ottenuta inserendo come colonne gli autovettori generati dai vari autospazi giusto? Che poi moltiplicata per la tua matrice ti fornisce la matrice diagonale D. O sbaglio?
Esatto proprio così, ah dimenticavo di dire che per traccia dell'esercizio la matrice S diagonalizzante per A ha $\alpha=0$
"Arcuri.Matteo":
Esatto proprio così, ah dimenticavo di dire che per traccia dell'esercizio la matrice S diagonalizzante per A ha $\alpha=0$
Perfetto grazie.
Nessuno riesce a chiarirmi i dubbi? 
"Arcuri.Matteo":
Polinomio caratteristico di A:
Banalmente $(1 -\lambda) * (\alpha -\lambda) * (1-\lambda)$
Occhio: $ p_A(\lambda) = (1+\lambda)(1-\lambda)(\alpha-\lambda) $.
"Arcuri.Matteo":
Per ogni $\alpha$ tale che: La moltipilicità algebrica coincida con quella geometrica, $((\alpha -\lambda,1,-1),(0,1-\lambda,1),(0,0,-1-\lambda))$ perciò per $\alpha=1$ avremo $((0,1,-1),(0,0,1),(0,0,-2))$ che ha m.g= 3 -2 =1 e non coincide con la m.a=2 quindi per $\alpha=1$ non è diagonalizzabile giusto?
Giusto.
"Arcuri.Matteo":
Mentre per $\alpha=-1$ avremo $((0,1,-1),(0,2,1),(0,0,0))$ che ha rango 1 quindi m.g= 2 quindi per $\alpha=-1$ sarà diagonalizzabile. (qua ho molti dubbi)
A dire il vero, quella matrice ha rango $ 2 $.
"Riccardo Desimini":
[quote="Arcuri.Matteo"]Polinomio caratteristico di A:
Banalmente $(1 -\lambda) * (\alpha -\lambda) * (1-\lambda)$
Occhio: $ p_A(\lambda) = (1+\lambda)(1-\lambda)(\alpha-\lambda) $.
"Arcuri.Matteo":
Per ogni $\alpha$ tale che: La moltipilicità algebrica coincida con quella geometrica, $((\alpha -\lambda,1,-1),(0,1-\lambda,1),(0,0,-1-\lambda))$ perciò per $\alpha=1$ avremo $((0,1,-1),(0,0,1),(0,0,-2))$ che ha m.g= 3 -2 =1 e non coincide con la m.a=2 quindi per $\alpha=1$ non è diagonalizzabile giusto?
Giusto.
"Arcuri.Matteo":
Mentre per $\alpha=-1$ avremo $((0,1,-1),(0,2,1),(0,0,0))$ che ha rango 1 quindi m.g= 2 quindi per $\alpha=-1$ sarà diagonalizzabile. (qua ho molti dubbi)
A dire il vero, quella matrice ha rango $ 2 $.[/quote]
Grazie mille, hai ragione non l'avevo ridotta per gauss, mentre per l'ultimo punto se la matrice $S_*$ sia ancora diagonalizzabile per la matrice A di partenza avevo pensato che la risposta sia No perchè a+b diventa linearmente indipendente, ragionamento sbagliato?
"Arcuri.Matteo":
Matrice diagonalizzante S = $((1,3,1),(0,-1,1),(0,2,0))$ Questa prendetela per buona l'ho verificata più e più volte.
La matrice $S_* =[a + b, -b,3c]$ è ancora diagonalizzante per A?
Io ho scritto $S_*=((4,-1,2),(-3,1,-2),(3,3,0))$
Non riesco a capire se è diagonalizzante o meno. (HELP)
Non ho capito perché hai dato lo stesso nome $ S_* $ a due matrici diverse.
Ti invito a rispiegare daccapo ed in maniera più precisa quello che ti serve capire in questa parte dell'esercizio.
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