[Algebra lineare] autovalore e molteplicità algebrica

[dave031]

sarà sicuramente una cavolata, ma mi sfugge il concetto di molteplicità algebrica di un autovalore.
Ad esempio, se ho una matrice il cui polinomio caratteristico è il seguente:

$-x^3+12x+16$

so per certo che gli zeri del polinomio (e quindi gli autovalori) sono -2 e 4...ma come faccio a capire che -2 ha molteplicità algebrica 2 mentre 4 ha molteplicità algebrica 1?

[rubik2]

se p(x) è il polinomio caratteristico e $lambda$ un autovalore la molteplicità algebrica di $lambda$ è il massimo intero $n$ tale che $(x-lambda)^nquad|quadp(x)$

[Luc@s]

molteplicità algebrica è quanto volte la radice $(x- \lambda_0)$ compare nell polinomio caratteristico
Ad esempio se come autovalori avessi $\lambda_1 = 2 \lambda_2 = 4$ entambi hanno $ma(2) = ma(4)= 1$.

[milady1]

"dave03":so per certo che gli zeri del polinomio (e quindi gli autovalori) sono -2 e 4...ma come faccio a capire che -2 ha molteplicità algebrica 2 mentre 4 ha molteplicità algebrica 1?

o si scompone il polinomio oppure, ed in questo caso conviene, si applica questo

Sia $k$ uno zero del polinomio $f$ con molteplicità algebrica $s$. Risulta $s>1$ se e soltanto se $k$ è zero anche del polinomio derivato $f'$

Per cui se $f(x)=-x^3+12x+16$ allora $f'(x)=-3x^2+12$
poichè $-2$ è radice di $f'(x)$ allora $-2$ ha molteplicità algebrica $2$

[nirvana2]

"dave03":sarà sicuramente una cavolata, ma mi sfugge il concetto di molteplicità algebrica di un autovalore.
Ad esempio, se ho una matrice il cui polinomio caratteristico è il seguente:

$-x^3+12x+16$

so per certo che gli zeri del polinomio (e quindi gli autovalori) sono -2 e 4...ma come faccio a capire che -2 ha molteplicità algebrica 2 mentre 4 ha molteplicità algebrica 1?

Ciao. È semplice.
La tua equazione del polinomio caratteristico è quindi (scritta in modo migliore): $x^3-12x-16=0$ e devi trovare le $x$ che soddisfano questa equazione. Come tu dici giustamente, la soddisfano $-2$ e $4$. Di solito se non sai che sono questi due valori che soddisfano questa equazione basta provare a mettere dei valori come, 1,-1,2,-2 e vedere se la soddisfano. Ora mettiamo che hai provato e che $-2$ soddisfa la tua equazioni, allora ti chiedi se ci sono altri zeri della funzione e che moltiplicità (algebrica) hanno.
Basta fare la divisione (che si impara alle medie), cioè: $(x^3-12x-16) : (x+2) = x^2-2x-8$ cioè $(x-4)*(x+2)$ Ora vedi che è già ridotta completamente (hai termini tutti lineari) e vedi che ricompare come zero una seconda volta il $-2$ e vedi che ti compare come nuovo zero il $4$ e quindi hai alla fine che:
$-2$ ha moltiplicità algebrica 2;
$4$ ha moltiplicità algebrica 1.
la tua espressione diventa: $(x+2)^2*(x-4)$.
Ovviamente devi sapere fare la divisione, ma è molto facile e lo si fa molto in fretta.
Ciao.

[dave031]

grazie a tutti delle risposte

[Kobra1]

"nirvana":...Basta fare la divisione (che si impara alle medie), cioè: $(x^3-12x-16) : (x+2) = x^2-2x-8$ cioè $(x-4)*(x+2)$ Ora vedi che è già ridotta completamente (hai termini tutti lineari) e vedi che ricompare come zero una seconda volta il $-2$ e vedi che ti compare come nuovo zero il $4$ e quindi hai alla fine che:
$-2$ ha moltiplicità algebrica 2;
$4$ ha moltiplicità algebrica 1.
la tua espressione diventa: $(x+2)^2*(x-4)$.
Ovviamente devi sapere fare la divisione, ma è molto facile e lo si fa molto in fretta.
Ciao.

scusate se mi intrometto... la divisione la devo fare con entrambi gli autovalori trovati?

[nirvana2]

"Kobra":[quote="nirvana"]...Basta fare la divisione (che si impara alle medie), cioè: $(x^3-12x-16) : (x+2) = x^2-2x-8$ cioè $(x-4)*(x+2)$ Ora vedi che è già ridotta completamente (hai termini tutti lineari) e vedi che ricompare come zero una seconda volta il $-2$ e vedi che ti compare come nuovo zero il $4$ e quindi hai alla fine che:
$-2$ ha moltiplicità algebrica 2;
$4$ ha moltiplicità algebrica 1.
la tua espressione diventa: $(x+2)^2*(x-4)$.
Ovviamente devi sapere fare la divisione, ma è molto facile e lo si fa molto in fretta.
Ciao.

scusate se mi intrometto... la divisione la devo fare con entrambi gli autovalori trovati?[/quote]

Come vedi io lo ho fatta partendo da $-2$, puoi partire da $4$ se vuoi. In questo modo riduci quell'espressione di terzo grado in vari fattori semplici, cosicché vedi subito TUTTI gli zeri della funzione (polinomio caratteristico).
Cmq no, non su tutti e due, parti da uno che conosci e poi dividi, se il risultato è ancora complicato, allora dividi ancora per uno zero di quella funzione trovata (non la funzione di partenza). È più facile farlo che spiegarlo.
Ciao.

[dave031]

c'è un'altra cosa che non mi torna..ho trovato un altro esercizio in cui si dice di calcolare autovalori a autovettori di una matrice, e definire se sia o no diagonalizzabile.
La matrice è la seguente:

$1,-2, 1$
$0,-3, 3$
$1, 3,-2$

quindi chiamando A la suddetta matrice, calcolandone il determinante det(A-xI) ,dove I è ovviamente la matrice identica, si ottiene il polinomio caratteristico:
$-x^3-4x^2+9x-6$

Guardando i divisori del termine noto $-6$, nessuno di loro è uno zero del polinomio....a questo punto l'esercizio conclude dicendo che la matrice è diagonalizzabile....ma sinceramente sta conclusione mi sfugge proprio.

Se il polonomio caratteristico non ha zeri, coma faccio a determinare gli autovalori e gli autovettori e quindi dire che è diagonalizzabile ?

[nirvana2]

Può avere autovalori complessi...cmq ho usato un calcolatore e ci sono zeri con la virgola, di solito gli esercizi li mettono con risultati precisi...