Algebra lineare

[Arad0R]

buongiorno. Dopodomani ho l'appello orale di geometria 1, e chiedono molto gli esercizi che non sono venuti..
A me manceno questi 2 esercizi:

A) Dimostrare che lo spazio vettoriale ℝ sul campo ℚ non ha dimensione finita

[se non sbaglio bisogna usare il discorso sulla numerabilità di ℚ, dicendo che ℚ è in biezione con ℕ poichè entrambi sono numerabili, però tra ℝ e ℕ non esiste alcuna biezione, e per la transitività non esisterà alcuna biezione tra ℝ e ℚ, corrreggetemi se sbaglio..

B) Dimostrare che il K-spazio vettoriale K[x] di tutti i polinomi a coefficienti in K non è finitamente generato

[mi ha detto il prof che questo esercizio non può essere risolto come lo ha fatto Sergio un pò di tempo fa, e cioe bisogna considerare l'insieme di tutti i polinomi P1,...,Pn e i gradi di ciascun polinomio, poi però non ricordo come si continua, se qualcuno mi aiuta..

[Megan00b]

"Arad0R":buongiorno. Dopodomani ho l'appello orale di geometria 1, e chiedono molto gli esercizi che non sono venuti..
A me manceno questi 2 esercizi:

A) Dimostrare che lo spazio vettoriale ℝ sul campo ℚ non ha dimensione finita

[se non sbaglio bisogna usare il discorso sulla numerabilità di ℚ, dicendo che ℚ è in biezione con ℕ poichè entrambi sono numerabili, però tra ℝ e ℕ non esiste alcuna biezione, e per la transitività non esisterà alcuna biezione tra ℝ e ℚ, corrreggetemi se sbaglio..

Se avesse dimensione finita, potresti definire una base di n vettori per un certo n intero (per definizione) e un'applicazione lineare che manda questa base in una base di $QQ^n$. L'applicazione sarebbe un isomorfismo, in particolare un'applicazione biunivoca e quindi dovrebbe conservare le cardinalità, però $QQ^n$ ha la cardinalità del numerabile mentre $RR$ quella del continuo.

[dissonance]

"Arad0R":
B) Dimostrare che il K-spazio vettoriale K[x] di tutti i polinomi a coefficienti in K non è finitamente generato

[mi ha detto il prof che questo esercizio non può essere risolto come lo ha fatto Sergio un pò di tempo fa, e cioe bisogna considerare l'insieme di tutti i polinomi P1,...,Pn e i gradi di ciascun polinomio, poi però non ricordo come si continua, se qualcuno mi aiuta..

Non mi ricordo cosa abbia scritto Sergio ma mi pare strano che abbia sbagliato su una domanda come questa. Quindi ti invito a rileggere con maggiore attenzione: può essere che tu abbia inteso male.

Ci sono, comunque, almeno due modi di procedere. Quello più immediato è osservare che l'insieme ${1, x, x^2, x^3, ...}$ è una sua base, e non è finita. Quindi tutte le basi non sono finite.

Se non vuoi usare il concetto di "base infinita", puoi anche fare così: se esistesse una base finita, diciamo ${P_1,...P_n}$, potremmo considerare i gradi di questi polinomi ${d_1,...d_n}$. Se $d$ è il massimo di questi gradi, allora ogni combinazione lineare $lambda_1P_1+...+lambda_nP_n$ avrà grado minore o uguale a $d$ (proprietà dei polinomi). Mentre noi sappiamo che esistono polinomi di grado più alto, ad esempio $x^(d+1)$.

[Arad0R]

A dissonance: Sergio aveva fatto il tuo primo ragionamento. Il mio prof preferiva il secondo che hai fatto tu, che a quanto pare hai centrato in pieno, visto che anche il mio prof parlava dei gradi $d_1..d_n$ e delle loro combinazioni lineari...

In ogni caso,dubbio risolto ho preso 24 oggi....non troppo alto ma..non mi posso lamentare,visto che avevamo da studiare dagli spazi vettoriali fino ai prodotti scalari e spazi duali