Algebra lineare
non sono d'accordo sul risultato di questo teorema che devo dimostrare per esercizio
Teorema:
"Sia $C$ una base di $RR^n$ e chiamiamo $bbC$ la matrice accostando i vettori della base $C$. dimostare che esiste un prodotto scalare $phi$ definito positivo per cui $C$ è una base ortonormale e che la matrice $S=bbC^(-1)(bbC^t)^(-1)$ è la matrice associata a $phi$ nella base canonica (cioè $S=M_B(phi))$)"
dimostrazione:
nota: $bbC$ non è altro che la matrice del cambio di base dalla base $C$ alla base canonica $B$.
Il primo pezzo è scontato, per il teorema spettrale esiste sempre una base ortonormale per un ato prodotto scalare $phi$ definito positivo.
noi sappiamo quindi che $M_C(phi)=I$ quindi sappiamo anche che
$S=M_B(phi)=(M_C^B)^t(id)M_C(phi)M_C^B=(M_C^B)^tM_C^B
che per come è stata definita $bbC$ questa relazione non è altro che $(bbC^(-1))^tbbC^(-1)
che è uguale a quella detta nel teorema sse C è ortogonale, però non è dato per ipotesi... quindi sbaglio io o il testo?---
grazioe a tutti
Teorema:
"Sia $C$ una base di $RR^n$ e chiamiamo $bbC$ la matrice accostando i vettori della base $C$. dimostare che esiste un prodotto scalare $phi$ definito positivo per cui $C$ è una base ortonormale e che la matrice $S=bbC^(-1)(bbC^t)^(-1)$ è la matrice associata a $phi$ nella base canonica (cioè $S=M_B(phi))$)"
dimostrazione:
nota: $bbC$ non è altro che la matrice del cambio di base dalla base $C$ alla base canonica $B$.
Il primo pezzo è scontato, per il teorema spettrale esiste sempre una base ortonormale per un ato prodotto scalare $phi$ definito positivo.
noi sappiamo quindi che $M_C(phi)=I$ quindi sappiamo anche che
$S=M_B(phi)=(M_C^B)^t(id)M_C(phi)M_C^B=(M_C^B)^tM_C^B
che per come è stata definita $bbC$ questa relazione non è altro che $(bbC^(-1))^tbbC^(-1)
che è uguale a quella detta nel teorema sse C è ortogonale, però non è dato per ipotesi... quindi sbaglio io o il testo?---
grazioe a tutti
Risposte
cavpolo due giorni e già in terza pagina...
nessuno sa dirmi se è giusto o no per voi?
nessuno sa dirmi se è giusto o no per voi?
"fu^2":
noi sappiamo quindi che $M_C(phi)=I$
Dunque, dovrei riguardarmi gli appunti, vado a memoria...
La matrice del cambiamento di base tra le due basi ortonormali è una matrice ortogonale. Fin qui giusto, ok?
$M_C(phi)=I$ dovrebbe essere vero solo se C è ortonormale...
io ho provato e mi viene il tuo stesso risultato, poi per quanto riguarda la prima domanda tu dici che esiste sempre una base ortonormale per un prodotto scalare definito positivo, però tu hai una base e vuoi un prodotto scalare non viceversa mi sembra che l'argomentazione non vada bene ma potrei non aver capito.
bene allora il secondo pezzo è ok
per il primo: $C$ deve soddisfare le seguenti proprietà: $M_C(phi)=I$.
allora sia A la matrice che rapparesenta il nostro prodotto scalare e $C={bbC^1,...,bbC^n} $ la nostra base di partenza. quindi dobbiamo trovare una relazione tale per cui $bbC^jAbbC^i=delta_(ij)$ ($delta_(ij)$ indico una funzione che assegna uno se $i=j$, zero se $i!=j$) ma per ottenere questa richiesta basta imporre che $bbC$ sia la matrice degli autovettori di $A$ e poi ridichiarare $C={bbC^1/sqrt(phi(bbC^1,bbC^1),...,bbC^n/sqrt(phi(bbC^n,bbC^n)}in quanto per il Th Spettrale noi sappiamo che una base di autovettori associata a una matrice A soddisfa le seguenti tre condizioni:
- è una base ortonormale per il prodotto scalare standard
- è una base ortogonale un prodotto scalare associato alla matrice A
quindi sapendo che il secondo pezzo abbiamo fatto i conti giusti possiam dire
cvd
per il primo: $C$ deve soddisfare le seguenti proprietà: $M_C(phi)=I$.
allora sia A la matrice che rapparesenta il nostro prodotto scalare e $C={bbC^1,...,bbC^n} $ la nostra base di partenza. quindi dobbiamo trovare una relazione tale per cui $bbC^jAbbC^i=delta_(ij)$ ($delta_(ij)$ indico una funzione che assegna uno se $i=j$, zero se $i!=j$) ma per ottenere questa richiesta basta imporre che $bbC$ sia la matrice degli autovettori di $A$ e poi ridichiarare $C={bbC^1/sqrt(phi(bbC^1,bbC^1),...,bbC^n/sqrt(phi(bbC^n,bbC^n)}in quanto per il Th Spettrale noi sappiamo che una base di autovettori associata a una matrice A soddisfa le seguenti tre condizioni:
- è una base ortonormale per il prodotto scalare standard
- è una base ortogonale un prodotto scalare associato alla matrice A
quindi sapendo che il secondo pezzo abbiamo fatto i conti giusti possiam dire
cvd
magari son io che vedo male, però non capisco perchè pur mettendoci i simboli dei dollari, non mi legge in codice...
qualcuno sa dirmelo?
grazie
qualcuno sa dirmelo?
grazie
"nirvana":
[quote="fu^2"]
noi sappiamo quindi che $M_C(phi)=I$
Dunque, dovrei riguardarmi gli appunti, vado a memoria...
La matrice del cambiamento di base tra le due basi ortonormali è una matrice ortogonale. Fin qui giusto, ok?
$M_C(phi)=I$ dovrebbe essere vero solo se C è ortonormale...[/quote]
infatti nel primo pezzo ti chiedono esplicitamente di dire se esiste un proodotto scalare associato a C in modo che C sia una base ortonormale, quindi usi quello per i tuoi calcoli dopo...
o sbaglio?
fu anche io vedo il codice e ancora non capisco bene 
ti dico cosa avrei scritto io: per definire un prodotto scalare mi basta dire come si comporta sulla base e poi estendere per bilinearità quindi se $C={c_1,...,c_n}$ definisco $c_i*c_j=delta_(ij)$ dove intendo il tuo stesso delta. per costruzione la matrice è ortonormale per il prodotto scalare.
quindi se prendo un vettore v scritto nella base $C$ allora $v*v=v^tv$
se voglio sapere nella base canonica $v=bbC^(-1)v_e$ dove con $v_e$ intendo il vettore scritto nella base canonica
$v^t*v=v_e^t(bbC^(-1))^tbbC^(-1)v_e$
quindi nella base canonica la matrice associata al prodotto scalare è $(bbC^(-1))^tbbC^(-1)$
come ti dicevo la seconda parte è uguale alla tua
ti dico cosa avrei scritto io: per definire un prodotto scalare mi basta dire come si comporta sulla base e poi estendere per bilinearità quindi se $C={c_1,...,c_n}$ definisco $c_i*c_j=delta_(ij)$ dove intendo il tuo stesso delta. per costruzione la matrice è ortonormale per il prodotto scalare.
quindi se prendo un vettore v scritto nella base $C$ allora $v*v=v^tv$
se voglio sapere nella base canonica $v=bbC^(-1)v_e$ dove con $v_e$ intendo il vettore scritto nella base canonica
$v^t*v=v_e^t(bbC^(-1))^tbbC^(-1)v_e$
quindi nella base canonica la matrice associata al prodotto scalare è $(bbC^(-1))^tbbC^(-1)$
come ti dicevo la seconda parte è uguale alla tua
sight solo su sto post non leggo il codice 
comunque per quel che son riuscito a capire a legegre senza codice (eee ormai ero abbituazto bene ) non è troppo diversa la prima parte mia dalla tua... entrambe partono dallo stesso teorema su cui far riferimento...
grazie dei suggeriemnti e cose varie, se hai da aggiungere qualcosa tutto è ben gradito!
grazie ancora ciaooo
comunque per quel che son riuscito a capire a legegre senza codice (eee ormai ero abbituazto bene
) non è troppo diversa la prima parte mia dalla tua... entrambe partono dallo stesso teorema su cui far riferimento... grazie dei suggeriemnti e cose varie, se hai da aggiungere qualcosa tutto è ben gradito!
grazie ancora ciaooo
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