Algebra lineare

[in_me_i_trust]

Salve a tutti, non so come ragionare sul seguente esercizio

Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$ invertibile e $B$ una qualsiasi matrice quadrata di ordine $n$. Mostrare che $rango(B)=rango(AB)$

[Gaal Dornick]

Spesso in matematica per dimostrare una uguaglianza bisogna dimostrare due disuguaglianze: una è ovvia, l'altra..ricordati l'ipotesi

[in_me_i_trust]

Bono ma senti secondo te per dimostrare bisogna ''mettere in mezzo'' le applicazioni lineari o non ce n'è bisogno?

[Gaal Dornick]

Non ce n'è bisogno. E' una dimostrazione da 1 rigo

[fu^2]

"in_me_i_trust":Salve a tutti, non so come ragionare sul seguente esercizio

Sia $A$ una matrice quadrata di ordine $n$ invertibile e $B$ una qualsiasi matrice quadrata di ordine $n$. Mostrare che $rango(B)=rango(AB)$

se $A,BinM_n(K)=>rg(A)=rg(B)=n$

è definito il prodotto $AB$. Basta mostrare che una moltiplicazione tra due matrici quadrate non fa variare il rango.

caso banale: se $B=A^(-1)=>AA^(-1)=I_n=>rgI_n=n=rgA$

in generale $AB=A*B^j,AAj=1,...,n$ devi mostrare che nn si posson aver due colonne linearmente dipendenti tra loro.
è facile da qui...

[fu^2]

oppure con le applicazioni lineari, se $L_A$ è biettiva, $L_B$ è biettivo $=>L_(A*B)$ è biettiva, ma la matrice asociata a $L_(A*B)$ nn è nienntaltro che $AB$ quindi...
spero di nn aver detto cavolate, però...

[Gaal Dornick]

Ok do la mia:
sfrutterò
$rank(AB)<=rank(A)$ e $rank(AB)<=rank(B)$

allora:
1) $rk(AB)<=rk(B)$
2) $rk(B)=rk(IB)=rk((A^(-1)A)B)=rk(A^(-1)*(AB))<=rk(AB)$

[Gaal Dornick]

"fu^2":se $A,BinM_n(K)=>rg(A)=rg(B)=n$

Perchè? $A,BinGL_n(K)=>rg(A)=rg(B)=n$

[fu^2]

"Gaal Dornick":Ok do la mia:
sfrutterò
$rank(AB)<=rank(A)$ e $rank(AB)<=rank(B)$

allora:
1) $rk(AB)<=rk(B)$
2) $rk(B)=rk(IB)=rk((A^(-1)A)B)=rk(A^(-1)*(AB))<=rk(AB)$

$rk(A^(-1)*(AB))<=rk(AB)$
scusa la domanda sciocca, ma nn mi torna così scontataquesta imlicazione.. potrestio spiegarmela per favore?

grazie

[Gaal Dornick]

E' conseguenza della seconda disuguaglianza scritta all'inizio: $rk(CD)<=rk(D)$
ove $D=AB$

[fu^2]

giusto, grazie