Algebra lineare
Ciao a tutti....
Il prof ci ha messo a disposizione degli esercizi di algebra lineare.... Ho pensato di svolgerli e di postare qui le mie soluzioni man mano che li faccio sperando nei vostri utilissimi consigli ed eventuali correzioni! Per favore corregetemi anche le improprietà di espressione o simbologia...
1) Dire se la permutazione $f= ((1,2,3,4,5),(5,4,3,2,1))in S_5$ è pari o dispari. E calcolare $f^(-1)$
Per stabilire se è pari o dispari conto il numero di inversioni per ciascun elemento e le sommo se il numero risultante è pari la permutazione è pari, altrimenti è dispari.
$1$ presenta 4 inversioni xkè presenta 4 elementi maggiori dell'elemento stesso alla sua sinistra.
$2$ presenta 3 inversioni xkè presenta 3 elementi maggiori dell'elemento stesso alla sua sinistra.
$3$ presenta 2 inversioni xkè presenta 2 elementi maggiori dell'elemento stesso alla sua sinistra.
$4$ presenta 1 inversione xkè presenta 1 elemento maggiore dell'elemento stesso alla sua sinistra.
In totale 10 inversioni... quinti la permutazione è pari
$f^(-1)= ((1,2,3,4,5),(5,4,3,2,1))$
GRAZIE per i vostri consigli.. fra poco scriverò gli altri esercizi
Il prof ci ha messo a disposizione degli esercizi di algebra lineare.... Ho pensato di svolgerli e di postare qui le mie soluzioni man mano che li faccio sperando nei vostri utilissimi consigli ed eventuali correzioni! Per favore corregetemi anche le improprietà di espressione o simbologia...
1) Dire se la permutazione $f= ((1,2,3,4,5),(5,4,3,2,1))in S_5$ è pari o dispari. E calcolare $f^(-1)$
Per stabilire se è pari o dispari conto il numero di inversioni per ciascun elemento e le sommo se il numero risultante è pari la permutazione è pari, altrimenti è dispari.
$1$ presenta 4 inversioni xkè presenta 4 elementi maggiori dell'elemento stesso alla sua sinistra.
$2$ presenta 3 inversioni xkè presenta 3 elementi maggiori dell'elemento stesso alla sua sinistra.
$3$ presenta 2 inversioni xkè presenta 2 elementi maggiori dell'elemento stesso alla sua sinistra.
$4$ presenta 1 inversione xkè presenta 1 elemento maggiore dell'elemento stesso alla sua sinistra.
In totale 10 inversioni... quinti la permutazione è pari
$f^(-1)= ((1,2,3,4,5),(5,4,3,2,1))$
GRAZIE per i vostri consigli.. fra poco scriverò gli altri esercizi
Risposte
Domande:
2) cosa si intende per $S_5$?
Il secondo esercizio dice:
Quante sono le trasposizioni $tau in S_(1 5)$?
cosa si intende per $S_(1 5)$
Se intende le permutazioni che si hanno tenendo fermi il primo e quinto elemento è soltanto 1, ma se intende il numero delle permutazioni che si possono ottenere nel vettore riga di 5 elementi sono $((5),(2))$. Come lo devo interpertare?
2) cosa si intende per $S_5$?
Il secondo esercizio dice:
Quante sono le trasposizioni $tau in S_(1 5)$?
cosa si intende per $S_(1 5)$
Se intende le permutazioni che si hanno tenendo fermi il primo e quinto elemento è soltanto 1, ma se intende il numero delle permutazioni che si possono ottenere nel vettore riga di 5 elementi sono $((5),(2))$. Come lo devo interpertare?
Nella speranza di ricevere risposta [lo so che è presto per fare matematica di sabato] posto un altro esercizio stavolta senza soluzione perchè non so come affrontarlo:
Sia $f=((1,2,3,4,5),(1,4,3,2,5)) in S_5$. Determinare le permutazioni $g in S_5$ tali che $fg=gf$ e f diverso da g diverso da 1.
GRAZIE ANTICIPAZAMENTE
Sia $f=((1,2,3,4,5),(1,4,3,2,5)) in S_5$. Determinare le permutazioni $g in S_5$ tali che $fg=gf$ e f diverso da g diverso da 1.
GRAZIE ANTICIPAZAMENTE
Scusate ma perchè nessuno mi risponde? Ho chiesto cose troppo facili o troppo difficili? Mi sono espresso male? Datemi qualche indicazione così miglioro i miei futuri post
Continuo a scrivere quello che ormai è diventato il mio blog personale.....
Adesso mi chiedo: Come si fa a passare da
$fg=gh$ in $f=ghg^(-1)$ dove g, h, f sono delle permutazioni?
Un saluto a me stesso da matematico estinto ... alias... Zeno Corsini
Adesso mi chiedo: Come si fa a passare da
$fg=gh$ in $f=ghg^(-1)$ dove g, h, f sono delle permutazioni?
Un saluto a me stesso da matematico estinto ... alias... Zeno Corsini
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"matematicoestinto":
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"matematicoestinto":
Continuo a scrivere quello che ormai è diventato il mio blog personale.....
Adesso mi chiedo: Come si fa a passare da
$fg=gh$ in $f=ghg^(-1)$ dove g, h, f sono delle permutazioni?
Un saluto a me stesso da matematico estinto ... alias... Zeno Corsini
scusa per l'intrusione nel tuo blog, ma mi sembra impossibile che non riesci a vederlo:
$fg=gh$ $\Rightarrow$ $fgg^(-1)=ghg^(-1)$ $\Rightarrow$ $f=ghg^(-1)$
Il calcolo di $f^(-1)$ e' giusto, come pure quello della parita' di f.
Tuttavia quest'ultimo e' fatto tramite il conto delle inversioni che puo'
diventare materialmente assai laborioso se il numero dei termini e' alto.
Esiste al riguardo il metodo delle trasposizioni che consiste nel ridurre
la permutazione in oggetto in prodotto di cicli e poi di cicli semplici ovvero
formati da 2 soli elementi (trasposizioni).
Nel caso di $f = ((1,2,3,4,5),(5,4,3,2,1))$ sono presenti due soli cicli
$(15)$ e $(24)$ che sono gia' trasposizioni.Pertanto si ha:
$f=(15)(24)$ e poiche' le trasposizioni di f sono in numero pari anche f e' di classe pari.
Quanto al quesito $fg=gf$ la soluzione e' abbastanza facile se f contiene almeno
due elementi fissi.In tal caso infatti g si puo' ottenere semplicemente permutando
in un modo qualsiasi questi elementi fissi.Nel caso nostro vi sono 3 elementi fissi :1,3,5
e quindi vi sono 3!-1=5 possibilita' (bisogna escludere il caso g=f).Scegliendo per
esempio la permutazione 5,1,3 si ha:
$f=((1,2,3,4,5),(1,4,3,2,5)) $,$g=((1,2,3,4,5),(5,4,1,2,3)) $ e risulta:
$fg=((1,2,3,4,5),(5,2,1,4,3))=gf $ che e' cio' che si voleva ottenere.
Aggiungo pero' che la presenza di elementi fissi e' una condizione sufficiente
ma non necessaria perche' esista una g tale che commuti con f.
Per esempio le permutazioni di $S_6$ date da:
$f=((1,2,3,4,5,6),(6,4,5,2,3,1));g=((1,2,3,4,5,6),(4,5,1,3,6,2))$
commutano cioe' fg=gf ma f non ha elementi fissi.
Per il significato di $S_5$ e di $S_(15)$ e per quello che e' in mia conoscenza,
in genere con $S_n$ si indica l'insieme delle n! permutazioni su n oggetti
distinti ad ognuno dei quali si fa corrispondere un indice da 1 ad n in modo
che mai 2 oggetti abbiano lo stesso indice (tra l'altro questo insieme e'
un gruppo,rispetto al prodotto di permutazioni, detto gruppo simmetrico).
Forse dovresti precisare meglio la questione.
karl
Tuttavia quest'ultimo e' fatto tramite il conto delle inversioni che puo'
diventare materialmente assai laborioso se il numero dei termini e' alto.
Esiste al riguardo il metodo delle trasposizioni che consiste nel ridurre
la permutazione in oggetto in prodotto di cicli e poi di cicli semplici ovvero
formati da 2 soli elementi (trasposizioni).
Nel caso di $f = ((1,2,3,4,5),(5,4,3,2,1))$ sono presenti due soli cicli
$(15)$ e $(24)$ che sono gia' trasposizioni.Pertanto si ha:
$f=(15)(24)$ e poiche' le trasposizioni di f sono in numero pari anche f e' di classe pari.
Quanto al quesito $fg=gf$ la soluzione e' abbastanza facile se f contiene almeno
due elementi fissi.In tal caso infatti g si puo' ottenere semplicemente permutando
in un modo qualsiasi questi elementi fissi.Nel caso nostro vi sono 3 elementi fissi :1,3,5
e quindi vi sono 3!-1=5 possibilita' (bisogna escludere il caso g=f).Scegliendo per
esempio la permutazione 5,1,3 si ha:
$f=((1,2,3,4,5),(1,4,3,2,5)) $,$g=((1,2,3,4,5),(5,4,1,2,3)) $ e risulta:
$fg=((1,2,3,4,5),(5,2,1,4,3))=gf $ che e' cio' che si voleva ottenere.
Aggiungo pero' che la presenza di elementi fissi e' una condizione sufficiente
ma non necessaria perche' esista una g tale che commuti con f.
Per esempio le permutazioni di $S_6$ date da:
$f=((1,2,3,4,5,6),(6,4,5,2,3,1));g=((1,2,3,4,5,6),(4,5,1,3,6,2))$
commutano cioe' fg=gf ma f non ha elementi fissi.
Per il significato di $S_5$ e di $S_(15)$ e per quello che e' in mia conoscenza,
in genere con $S_n$ si indica l'insieme delle n! permutazioni su n oggetti
distinti ad ognuno dei quali si fa corrispondere un indice da 1 ad n in modo
che mai 2 oggetti abbiano lo stesso indice (tra l'altro questo insieme e'
un gruppo,rispetto al prodotto di permutazioni, detto gruppo simmetrico).
Forse dovresti precisare meglio la questione.
karl
[size=150]GRAZIE KARL[/size]
Mi hai salvato e sei stato chiarissimo (cosa non da poco!)
Vorrei chiederti due cose ancora:
1) Potresti farmi un esempio di una permutazione più complessa dove riduci la permutazione in prodotto di cicli e poi in cicli semplici o trasposizioni?
2) Quale proprietà delle permutazioni viene sfruttata convenientemente in questo caso per cui g si prende in modo che commuti due elementi fissi?
Se la mia f non avesse avuto elementi fissi, come avrei dovuto fare per tovare la g? In altre parole tu, per fare quell'esempio, come hai fatto a trovare g?
GRAZIE ANCORA
CIAO
Mi hai salvato e sei stato chiarissimo (cosa non da poco!)
Vorrei chiederti due cose ancora:
1) Potresti farmi un esempio di una permutazione più complessa dove riduci la permutazione in prodotto di cicli e poi in cicli semplici o trasposizioni?
2) Quale proprietà delle permutazioni viene sfruttata convenientemente in questo caso per cui g si prende in modo che commuti due elementi fissi?
Se la mia f non avesse avuto elementi fissi, come avrei dovuto fare per tovare la g? In altre parole tu, per fare quell'esempio, come hai fatto a trovare g?
GRAZIE ANCORA
CIAO
Esempio:
$f=((1,2,3,4,5,6),(3,5,4,1,6,2))=(134)(256)=(13)(14)(25)(26)$
ma te puoi costruirne quanti ne vuoi.
Ti avverto che ,mentre la decomposizione in cicli e' unica,quella
in trasposizioni puo' non esserlo.Tuttavia,quale che sia la decomposizione
in trasp. considerata,il numero di esse non cambia parita' e cioe' o e'
sempre pari o sempre dispari.Ed e' questo che permette di derivare
la parita' di una permutazione dal numero delle sue trasp.
Quanto al resto bisognerebbe far riferimento alla "teoria dei commutatori"
di cui ho solo vaghi ricordi...Quell'esempio l'ho costruito faticosamente
con molte prove.Non ci resta che confidare nell'intervento di altri forumisti.
karl
$f=((1,2,3,4,5,6),(3,5,4,1,6,2))=(134)(256)=(13)(14)(25)(26)$
ma te puoi costruirne quanti ne vuoi.
Ti avverto che ,mentre la decomposizione in cicli e' unica,quella
in trasposizioni puo' non esserlo.Tuttavia,quale che sia la decomposizione
in trasp. considerata,il numero di esse non cambia parita' e cioe' o e'
sempre pari o sempre dispari.Ed e' questo che permette di derivare
la parita' di una permutazione dal numero delle sue trasp.
Quanto al resto bisognerebbe far riferimento alla "teoria dei commutatori"
di cui ho solo vaghi ricordi...Quell'esempio l'ho costruito faticosamente
con molte prove.Non ci resta che confidare nell'intervento di altri forumisti.
karl
"karl":
Non ci resta che confidare nell'intervento di altri forumisti.
Dopo 2 giorni ho perso le speranze in questo!
Non so come ringraziarti per l'aiuto che mi hai dato! Forse a te sembra poco ma è tutto il sabato che provavo e riprovavo a fare questo esercizio invanamente!
GRAZIE ANCORA
CIAO
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