Algebra _ insiemi
hei.. c'è quallcuno ke può darmi una mano a risolvere questo probl??????
" siano A,B,C insiemi tali ke A∆B = A∆C dimostrare ke B=C "
p.s. ∆ = differenza simmetrica!!! [ovvero A∆B = ( A U B) \ ( A intersezione B ) ]
grazie 1000 in anticipo!!!!!!
" siano A,B,C insiemi tali ke A∆B = A∆C dimostrare ke B=C "
p.s. ∆ = differenza simmetrica!!! [ovvero A∆B = ( A U B) \ ( A intersezione B ) ]
grazie 1000 in anticipo!!!!!!
Risposte
Io farei così...
Sia $x \in B$. Ci sono 2 casi:
1) $x \in A ∆ B = A ∆ C => x \in C \ \\(A \cap C)$ e in particolare $x \in C$
2) $x \notin A ∆ B = A ∆ C => x \in A \cap C$ e in partiolare $x \in C$
Quindi in ogni caso $x \in C$. Da cui segue che $B \subset C$.
Facendo lo stesso ragionamento "al contrario" si ottiene l'inclusione inversa e quindi l'uguaglianza tra gli insiemi.
Spero nn ci siano errori..e sia comprensibile..
Sia $x \in B$. Ci sono 2 casi:
1) $x \in A ∆ B = A ∆ C => x \in C \ \\(A \cap C)$ e in particolare $x \in C$
2) $x \notin A ∆ B = A ∆ C => x \in A \cap C$ e in partiolare $x \in C$
Quindi in ogni caso $x \in C$. Da cui segue che $B \subset C$.
Facendo lo stesso ragionamento "al contrario" si ottiene l'inclusione inversa e quindi l'uguaglianza tra gli insiemi.
Spero nn ci siano errori..e sia comprensibile..
Devi usare la definizione di uguaglianza (che ti da il metodo così detto di "doppia inclusione").
Ti faccio solo la prima parte la seconda si svolge similmente
Esercizio: Siano A, B, C insiemi provare che
$A \Delta B = A \Delta C \Rightarrow B = C$
Edito per eliminare totalmente la mia dimostrazione che mi sono reso conto essere completamente sbagliata
povero me ahah ...
Ti faccio solo la prima parte la seconda si svolge similmente
Esercizio: Siano A, B, C insiemi provare che
$A \Delta B = A \Delta C \Rightarrow B = C$
Edito per eliminare totalmente la mia dimostrazione che mi sono reso conto essere completamente sbagliata
povero me ahah ...
Provo....
la differenza simmetrica si può esprimere anche come: $(A-B)U(B-A)$, dunque......
$(A-B)U(B-A)=(A-C)U(C-A)$, ora se scrivo: $(A-(B-C))U(B-C)-A)=(A-(C-C))U((C-C)-A)$, ottengo..... $(A-(B-C))U(B-C)-A)=A$, il quale è verificabile solo se $(B-C)=0$, ossia la differenza tra l'insieme $A$ e l'insieme $B$ è l'insieme vuoto, in altre parole $B=C$.
Correggetemi se sbaglio!
Ciao
Alexp
la differenza simmetrica si può esprimere anche come: $(A-B)U(B-A)$, dunque......
$(A-B)U(B-A)=(A-C)U(C-A)$, ora se scrivo: $(A-(B-C))U(B-C)-A)=(A-(C-C))U((C-C)-A)$, ottengo..... $(A-(B-C))U(B-C)-A)=A$, il quale è verificabile solo se $(B-C)=0$, ossia la differenza tra l'insieme $A$ e l'insieme $B$ è l'insieme vuoto, in altre parole $B=C$.
Correggetemi se sbaglio!
Ciao
Alexp
"Archimede":
N.B. in realtà per l'ipotesi possiamo anche avvalerci della seguente uguaglianza facilmente verificabile:
$(A \cup B) \setminus (A \cap B) = A \cup B$.
Nn capisco come fai a dire questo..nessuno ci assicura che gli insiemi sono disgiunti (senza intersezione), o sbaglio??
"BlanX":
[quote="Archimede"]N.B. in realtà per l'ipotesi possiamo anche avvalerci della seguente uguaglianza facilmente verificabile:
$(A \cup B) \setminus (A \cap B) = A \cup B$.
Nn capisco come fai a dire questo..nessuno ci assicura che gli insiemi sono disgiunti (senza intersezione), o sbaglio??[/quote]
Si ho sbagliato a scrivere
mea culpa, non è $\cup$ ma $\cup\dot$ <--- col pallino sopra ma non riesco a farlo Chiedo venia se ho fatto fare confusione a qulcuno, ora deleto quella parte
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