[Algebra] Esercizio strano
Piccolo passo indietro per un esercizio di teoria degli insiemi (ne discutevo con alcune persone che mi sottoposero questo esercizio).
$S \cup T \subseteq V \Rightarrow ((V \setminus S) \cup T) \cap S = S \cap T$
Io sono abituato (e mi è stato anche detto, nonchè si deduce dalla definizione di implicazione) a prendere la parte a sinistra della $\Rightarrow$ come ipotesi e l'altra parte come tesi. Orbene ho sempre pensato che per dimostrare quell'uguaglianza bisognasse utilizzare l'ipotesi durante i passaggi algebrici, è corretto? Mi è stato detto che non c'entra nulla l'ipotesi dato che ciò che conta è la tesi (dato che è condizione necessaria) facendomi questo esempio "5 è pari => 13 numero primo". Mi potete chiarire questo dubbio?
Io penso che nell'iimplicazione l'unica cosa che sappiamo vera è l'ipotesi...della tesi non sappiamo se è vera o falsa no? quindi dobbiamo servirci dell'ipotesi per poterla dimostrare o sbaglio?
In effetti però l'uguaglianza di cui sopra è verificata anche senza tener conto dell'ipotesi
Help.
$S \cup T \subseteq V \Rightarrow ((V \setminus S) \cup T) \cap S = S \cap T$
Io sono abituato (e mi è stato anche detto, nonchè si deduce dalla definizione di implicazione) a prendere la parte a sinistra della $\Rightarrow$ come ipotesi e l'altra parte come tesi. Orbene ho sempre pensato che per dimostrare quell'uguaglianza bisognasse utilizzare l'ipotesi durante i passaggi algebrici, è corretto? Mi è stato detto che non c'entra nulla l'ipotesi dato che ciò che conta è la tesi (dato che è condizione necessaria) facendomi questo esempio "5 è pari => 13 numero primo". Mi potete chiarire questo dubbio?
Io penso che nell'iimplicazione l'unica cosa che sappiamo vera è l'ipotesi...della tesi non sappiamo se è vera o falsa no? quindi dobbiamo servirci dell'ipotesi per poterla dimostrare o sbaglio?
In effetti però l'uguaglianza di cui sopra è verificata anche senza tener conto dell'ipotesi
Help.
Risposte
rispondo da "matematico della strada" quale sono
è vero che:
"5 è pari => 13 numero primo"
è anche vero che:
"5 è pari => 13 è divisibile per 6"
ed è anche vero che:
"5 è dispari => 13 numero primo"
mentre à falso che:
"5 è dispari => 13 è divisibile per 6"
insomma, abbiamo ripassato la tabella di verità del connettivo logico (proposizionale) "=>", detto anche "implicazione materiale"
ciò che si cerca di fare in un teorema è invece di provare che da una certa ipotesi discendono certe conseguenze. Ovviamente si è interessati al caso in cui le ipotesi siano vere. Quindi al terzo dei 4 casi sopra elencati.
va anche aggiunto che la dimostrazione si ottiene normalmente come concatenazione di passaggi logici che legano tra di loro proposizioni successive. Quindi, nella dimostrazione di un teorema mi aspetto di usare, eccome, l'ipotesi o, meglio, le ipotesi fatte. Se non uso qualcuna delle ipotesi che ho fatto, vorrà dire che la posso eliminare dall'enunciato del teorema.
'notte
è vero che:
"5 è pari => 13 numero primo"
è anche vero che:
"5 è pari => 13 è divisibile per 6"
ed è anche vero che:
"5 è dispari => 13 numero primo"
mentre à falso che:
"5 è dispari => 13 è divisibile per 6"
insomma, abbiamo ripassato la tabella di verità del connettivo logico (proposizionale) "=>", detto anche "implicazione materiale"
ciò che si cerca di fare in un teorema è invece di provare che da una certa ipotesi discendono certe conseguenze. Ovviamente si è interessati al caso in cui le ipotesi siano vere. Quindi al terzo dei 4 casi sopra elencati.
va anche aggiunto che la dimostrazione si ottiene normalmente come concatenazione di passaggi logici che legano tra di loro proposizioni successive. Quindi, nella dimostrazione di un teorema mi aspetto di usare, eccome, l'ipotesi o, meglio, le ipotesi fatte. Se non uso qualcuna delle ipotesi che ho fatto, vorrà dire che la posso eliminare dall'enunciato del teorema.
'notte
Grazie Fioravante (chiarissimo come sempre), nell'esercizio che ho scritto sopra mi sembra che l'ipotesi sia del tutto superflua, allora perchè metterla? Qui è stato il nostro punto di scontro, il mio amico dice che questo dimostra che l'ipotesi puo' non essere presa in considerazione, io invece dico che se viene fornita allora deve essere usata...ma questo esercizio mi smentisce alla grande 
(o almeno io non ho trovato un controesempio), illuminami/temi
(o almeno io non ho trovato un controesempio), illuminami/temi
Potresti riportare i passaggi che hai usato, senza ricorrere all'ipotesi?
"lore":
Potresti riportare i passaggi che hai usato, senza ricorrere all'ipotesi?
Si, posto i passaggi che il mio amico ha fatto:
Supponiamo $x \in S \cap T$. Allora senz'altro $x \in T$ e $x \in (V \setminus S) \cup T$. Ma $x \in S$; e allora $x \in ((V \setminus S) \cup T) \cap S$.
Supponiamo $x \in ((V \setminus S) \cup T) \cap S$. Allora $x \in S$ e $x \in (V \setminus S) \cup T$, quindi $x \in (V \setminus S)$ oppure $x \in T$. Ma certamente $x \notin V \setminus S$, quindi $x \in T$; e allora $x \in S \cap T$.
altro modo, con le leggi di de Morgan:
$((V \setminus S) \cup T) \cap S = ((V \setminus S) \cap S ) \cup ( T \cap S)$
ed è ovvio che $(V \setminus S) \cap S$ è vuoto, per def di differenza tra insiemi quindi ho l'uguaglianza
in effetti, la ipotesi non serve
quindi, si può togliere: la proposizione continua a valere senza quella ipotesi
se tu avessi usato l'ipotesi nella dim, poco male
avresti avuto una dim poco elegante, e certo poco "illuminante", ma questo non toglieva nulla alla validità della dimostrazione
$((V \setminus S) \cup T) \cap S = ((V \setminus S) \cap S ) \cup ( T \cap S)$
ed è ovvio che $(V \setminus S) \cap S$ è vuoto, per def di differenza tra insiemi quindi ho l'uguaglianza
in effetti, la ipotesi non serve
quindi, si può togliere: la proposizione continua a valere senza quella ipotesi
se tu avessi usato l'ipotesi nella dim, poco male
avresti avuto una dim poco elegante, e certo poco "illuminante", ma questo non toglieva nulla alla validità della dimostrazione
Allora ha ragione lui, non sempre l'ipotesi DEVE essere usata?
Così ad occhio, può darsi che l'ipotesi serva per ben definire "\"... altrimenti può essere solo un test per verificare la conoscenza della tabella di "-->", riportata in alcuni eloquenti casi da Fioravante Patrone.
Certo che l'ipotesi può non essere usata, non è che c'è qualcuno che ti spara se non la usi. Se uno deve dimostrare $A=>B$, deve dimostrare $B$ eventualmente avvalendosi dell'ipotesi $A$: che poi utilizzi o non utilizzi l'ipotesi $A$ nel corso della dimostrazione è irrilevante. Se non utilizza $A$, allora certamente potrà dire: $B$ è un teorema, senza bisogno di ulteriori ipotesi.
credo che ci voglia una risposta su due livelli diversi
- a livello formale, se tu non usi una ipotesi nella dim di un teorema, è comunque chiaro che il teorema resta vero, così come è stato formulato
- a livello di prassi abituale, tipicamente gli enunciati dei teoremi sono dati in modo che, se tu togli una della ipoitesi, il teorema non è più vero. Prendi un qualunque teorema, che so, di analisi matematica che trovi su un libro, prova a togliere una delle ipotesi che fa e riuscirai a trovare (magari in certi casi può essere diffcile) un controesempio alla validità del teorema "emendato"
alcuni commenti ancora, sempre a livello di prassi:
- io sopra parlavo di teoremi ben noti. Se sto cercando di capire se un teorema nuovo che ho appena scoperto richieda effettivamente tutte le ipotesi che ho usato per la dim, potrebbe non essere banale riuscire a vederlo
- notare che ho detto "togliere" una delle ipotesi. Intendo proprio dire: "buttarla via", eliminarla. Non dico di sostituirla con un'altra "meno forte". Questo è ovviamente un altro discorso
- se parliamo di esercizi, ovvero di proposizioni che lo "studente" deve riuscire a dimostrare, di solito è prassi mettere tutte e sole le ipotesi che servono. A mio parere è buona abitudine didattica dare anche esercizi (come potrebbe essere quello su cui è centrato questo topic) che hanno ipotesi ridondanti. Magari non sono gli esercizi da mettere tra i primi nella lista, ma a mio parere ci vogliono. Così come sono importanti gli esercizi che chiedono: "è vero che ... ?". Sono molto più istruttivi di quelli che dicono "dimostrare che...". A me piace anche dare esercizi che si concludono con: "commentare".
ciao
- a livello formale, se tu non usi una ipotesi nella dim di un teorema, è comunque chiaro che il teorema resta vero, così come è stato formulato
- a livello di prassi abituale, tipicamente gli enunciati dei teoremi sono dati in modo che, se tu togli una della ipoitesi, il teorema non è più vero. Prendi un qualunque teorema, che so, di analisi matematica che trovi su un libro, prova a togliere una delle ipotesi che fa e riuscirai a trovare (magari in certi casi può essere diffcile) un controesempio alla validità del teorema "emendato"
alcuni commenti ancora, sempre a livello di prassi:
- io sopra parlavo di teoremi ben noti. Se sto cercando di capire se un teorema nuovo che ho appena scoperto richieda effettivamente tutte le ipotesi che ho usato per la dim, potrebbe non essere banale riuscire a vederlo
- notare che ho detto "togliere" una delle ipotesi. Intendo proprio dire: "buttarla via", eliminarla. Non dico di sostituirla con un'altra "meno forte". Questo è ovviamente un altro discorso
- se parliamo di esercizi, ovvero di proposizioni che lo "studente" deve riuscire a dimostrare, di solito è prassi mettere tutte e sole le ipotesi che servono. A mio parere è buona abitudine didattica dare anche esercizi (come potrebbe essere quello su cui è centrato questo topic) che hanno ipotesi ridondanti. Magari non sono gli esercizi da mettere tra i primi nella lista, ma a mio parere ci vogliono. Così come sono importanti gli esercizi che chiedono: "è vero che ... ?". Sono molto più istruttivi di quelli che dicono "dimostrare che...". A me piace anche dare esercizi che si concludono con: "commentare".
ciao
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