Algebra e geometria lineare

[marshall86thebest]

Ciao a tutti ho un problema enorme con la diagonalizzazione di una matrice.
Dunque l'esercizio era questo:
NELLO SPAZIO VETTORIALE DELLE MATRICI 2,2 A COEFFICIENTI REALI=V SIA
A=
11
12

SIA F:V--->V L'APPLICAZIONE DEFINITA DA F(M)=M*A PER OGNI M APPARTENENTE A V.
A) PROVARE CHE F E' UN APPLICAZIONE LINEARE:

HO PRESO
M= AB
CD
E HO TROVATO LA MATRICE F(M)=
A+B A+2B
C+D C+2D

HO POSTO LA CONDIZIONE.. F E' UN APPLICAZIONE LINEARE

B) CALCOLARE LA DIM DEL KER F:

PER CALCOLARLA HO UTILIZZATO LA MATRICE ASSOCIATA ALLA BASE CANONICA
1000
0100
0010
0001

E HO TROVATO LA MATRICE ASSOCIATA:
1100
1200
0011
0012

CHE RIDOTTA:
1000
0100
00-10
0001

IL RANGO E' 4( DET DIVERSO DA O)
LA DIM KER =DIM(V)-RANGO DELLA MATRICE ASSOCIATA=0 QUINDI F E' INIETTIVA

LA DIM IM(F)+DIM KER F=DIM V QUINDI F E' SURIETTIVA

ESSENDO INIETTIVA E SURIETTIVA, F E' BIIETTIVA.



C) DIMOSTRARE CHE F E' DIAGONALIZZABILE :

USO LA SEGUENTE MATRICE A:

1100
1200
0011
0012

CALCOLO A-aId= a^4-6a^3+11a^2-6a+1=0

CHE PUO' ESSERE SCRITTO COSì: (a^2-3a+1)^2

CALCOLO a E MI VIENE UGUALE A 3+/- SQRT(RADICE) DI 5

A QUESTO PUNTO SOSTITUISCO a ALLA MATRICE ED OTTENGO:

-2+SQRT 5 1 0 0
1 -1+SQRT 5 0 0
0 0 -2+SQRT 5 1
0 0 1 -1+SQRT 5


ARRIVATO A QUESTO PUNTO NON RIESCO AD ANDARE AVANTI E A RIDURRE LA MATRICE PER CALCOLARE L'AUTOSPAZIO E VEDERE SE E' DIAGONALIZZABILE.

QUALCUNO MI AIUTI SONO VERAMENTE DISPERATO DEVO FARE L'ESAME DI ALGEBRA FRA NON MOLTO E' MOLTO URGENTE!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!




GRAZIE

Marshall

[_Tipper]

Se ho capito bene qual è la matrice puoi cominciare col moltiplicare la seconda riga per $2-\sqrt{5}$ e sommarla alla prima.

[marshall86thebest]

Ciao grazie per avermi risposto io ho fatto i seguenti passaggi:

r2+r1
r1-r2
r3-r4
r2-r1
r4-r3
r3-r4
r4-r3
r1-r2
sqrt(radice)5r4-r3
r2-r1
r4+r3
r2-r1
sqrt5r2-r1
r2-r1
sqrt5r1+r2
r1 <-->r2
sqrt5r3-r4
sqrt5r3-4
2r3-r4
sqrt5r1+r2
4r1-1/2r2

ALLA FINE HO OTTENUTO QUESTA MATRICE

-20sqrt5 0 0 0
0 -8 0 0
0 0 -10sqrt5 0
0 0 0 -10


ma non credo vada bene perchè non si annulla nemmeno una riga! puoi aiutarmi???

[_Tipper]

Ma sei sicuro che gli autovalori siano $3 \pm \sqrt{5}$?

[_Tipper]

Ti sei dimenticato un fratto due.

[marshall86thebest]

E QUINDI?????

[_Tipper]

E quindi la matrice che devi ridurre non è quella, ma un'altra.

[marshall86thebest]

"Tipper":E quindi la matrice che devi ridurre non è quella, ma un'altra.

Ok hai ragione purtroppo avevo dimenticato il fratto 2... ma stavo pensando visto che il mio polinomio caratteristico è (a^2-3a+1)^2
a=3+/-sqrt 5 /2 forse nella matrice visto che il polinomio è elevato al ^2, questo cosa cambia sulla mia matrice? è questa di seguito o un altra?

1-(3+sqrt 5)/2 1 0 0
1 2-(3+sqrt 5)/2 0 0
0 0 1-(3+sqrt 5)/2 1
0 0 1 2-(3+sqrt 5)/2



THANK YOU!!


MARSHALL

[marshall86thebest]

HO RIDOTTO LE MATRICI!! PRIMA PER A=3+SQRT 5/ 2 E POI PER 3-SQRT 5/2 E HO TROVATO 2 MATRICI 2X4:

QUELLA CON a=3+sqrt 5/2:

1 (1-sqrt5)/2 0 0
0 0 1 (1-sqrt 5)/2

E L'ALTRA:


1 (SQRT 5+1)/2 0 0
0 0 1 (SQRT 5+1)/2




A QUESTO PUNTO SONO RIDOTTE NO? SEMBRANO DELLE MATRICI SIMMETRICHE E QUINDI DIAGONALIZZABILI SBAGLIO??

E' MOLTO URGENTE TI PREGO RISPONDIMI

GRAZIE

MARSHALL

[Camillo]

Non scrivere in maiuscolo : equivale a urlare

[_Tipper]

Non ho controllato i conti, ma se hai trovato due matrici $2 \times 4$ (a dire la verità sarebbero $4 \times 4$ con due righe nulle, ma vabe') significa che ogni autospazio ha dimensione due, quindi, dato che ogni autovalore è regolare, la matrice è diagonalizzabile.