Algebra - Dubbi su esercizi
Buon giorno forum ^_^
ieri stavo provado a fare alcuni esercizi e mi son venuti dei dubbi
es. 1
Sia [tex]f:R^3->R^3[/tex] per quali valori di [tex]t€R[/tex] f è un isomorfismo?
[tex]f(a,b,c)=(ta+b,ta+tb+c,a+b+c)[/tex]
Per sapere se f è un isomorfismo ho ragionato pensando che f è un isomorfismo se esiste la sua inversa... quindi f deve esser invertibile!
Sono andato a comporre la matrice
t t 1
1 t 1
0 1 1
Dal determinante mi devo trovare i valori di t che rendono invertibile la matrice associata ad f e per esser invertibile bisogna avere det!=0
il det di questa matrice risulta esser[tex]t^2-2t+1[/tex] la pongo =0 e ottengo [tex]t1=t2=+1[/tex]
Quindi la matrice ammette inverso, f è isomorfismo per t!=1
E' giusto il ragionamento?
In altri esercizi in cui dovevo trovare il rango, perchè forse è più facile, mi trovo meglio a usare il metodo della riduzione a scala con mosse di gauss, ma ai fini pratici in che caso vanno usati i metodi dei minori e dei minori orlati? Si devono calcolare per forza i determinanti di tutti gli orlati o basta 2? Io so dal teo degli orlati che il det di tutte le sottomatrice orlate deve essere nullo(però ho un esercizio di cui ci sono 2 det degli orlati uguali a zero e poi la deduzione del valore del rango).Manca un pezzo o c'è una scorciatoia?
Matrici simili ed equivalenti sono la stessa cosa?
Per def A equivale a B quando è ottenuta da un numero finito di mosse di gaus... [tex]det(A)=det(B)[/tex] e [tex]r(A)=r(B)[/tex]
Per matrici simili ho questa def. Due matrici A e B sono simili se esiste una matrice M, invertibile, tale che A=M^-1BM e anche qui [tex]det(A)=det(B)[/tex] e [tex]r(A)=r(B)[/tex]
Grazie per l' attenzione ^_^
p.s ne scordavo uno....
negli esercizi in cui bisogna determinare gli autospazi degli autovalori come è possibile trovare una base per l'autospazio?
es
A-2U=$((-1,0,0),(-1,-1,0),(3,4,0))$ si ha
[tex]r=imf=2[/tex], [tex]dim ker(A-2U)=1[/tex] poi tramite il sistema che determina i valori dell'autospazio
{-x1=0 {x1=x2=0
{-x1-x2=0 {x3=k
si ottiene V2={(0,0,k)|k€R} dove k è un parametro generico... come ottengo una sua base?
L'ese della prof riporta Bv2={e3} O_o
ieri stavo provado a fare alcuni esercizi e mi son venuti dei dubbi
es. 1
Sia [tex]f:R^3->R^3[/tex] per quali valori di [tex]t€R[/tex] f è un isomorfismo?
[tex]f(a,b,c)=(ta+b,ta+tb+c,a+b+c)[/tex]
Per sapere se f è un isomorfismo ho ragionato pensando che f è un isomorfismo se esiste la sua inversa... quindi f deve esser invertibile!
Sono andato a comporre la matrice
t t 1
1 t 1
0 1 1
Dal determinante mi devo trovare i valori di t che rendono invertibile la matrice associata ad f e per esser invertibile bisogna avere det!=0
il det di questa matrice risulta esser[tex]t^2-2t+1[/tex] la pongo =0 e ottengo [tex]t1=t2=+1[/tex]
Quindi la matrice ammette inverso, f è isomorfismo per t!=1
E' giusto il ragionamento?
In altri esercizi in cui dovevo trovare il rango, perchè forse è più facile, mi trovo meglio a usare il metodo della riduzione a scala con mosse di gauss, ma ai fini pratici in che caso vanno usati i metodi dei minori e dei minori orlati? Si devono calcolare per forza i determinanti di tutti gli orlati o basta 2? Io so dal teo degli orlati che il det di tutte le sottomatrice orlate deve essere nullo(però ho un esercizio di cui ci sono 2 det degli orlati uguali a zero e poi la deduzione del valore del rango).Manca un pezzo o c'è una scorciatoia?
Matrici simili ed equivalenti sono la stessa cosa?
Per def A equivale a B quando è ottenuta da un numero finito di mosse di gaus... [tex]det(A)=det(B)[/tex] e [tex]r(A)=r(B)[/tex]
Per matrici simili ho questa def. Due matrici A e B sono simili se esiste una matrice M, invertibile, tale che A=M^-1BM e anche qui [tex]det(A)=det(B)[/tex] e [tex]r(A)=r(B)[/tex]
Grazie per l' attenzione ^_^
p.s ne scordavo uno....
negli esercizi in cui bisogna determinare gli autospazi degli autovalori come è possibile trovare una base per l'autospazio?
es
A-2U=$((-1,0,0),(-1,-1,0),(3,4,0))$ si ha
[tex]r=imf=2[/tex], [tex]dim ker(A-2U)=1[/tex] poi tramite il sistema che determina i valori dell'autospazio
{-x1=0 {x1=x2=0
{-x1-x2=0 {x3=k
si ottiene V2={(0,0,k)|k€R} dove k è un parametro generico... come ottengo una sua base?
L'ese della prof riporta Bv2={e3} O_o
Risposte
innanzitutto: scrivi meglio. usa molto più spesso le formule, evita robaccia tipo il simbolo di euro invece di $in$
poi passiamo agli esercizi: il primo va bene.
il secondo non sono sicuro, ma credo che equivalenti e simili sia le stessa cosa.. ma non fidarti troppo.
il terzo: trovare una base di uno spazio è qualcosa che uno deve avere ben presente, è ovvio che un insieme del tipo
${x in RR^3,\ x=(0,0,k)\ k in RR}$ è generato da $(0,0,1)$, per verificarlo se vuoi fai un conticino, ma è proprio evidente, è praticamente la definizione di spazio generato.
poi passiamo agli esercizi: il primo va bene.
il secondo non sono sicuro, ma credo che equivalenti e simili sia le stessa cosa.. ma non fidarti troppo.
il terzo: trovare una base di uno spazio è qualcosa che uno deve avere ben presente, è ovvio che un insieme del tipo
${x in RR^3,\ x=(0,0,k)\ k in RR}$ è generato da $(0,0,1)$, per verificarlo se vuoi fai un conticino, ma è proprio evidente, è praticamente la definizione di spazio generato.
grazie per la risp
per il latex ho ancora qualche problema non lo conosco... man mano che lo imparo ad usare lo uso...vedi i primi post vedi l'ultimo....
non ho ben capito quel che vuoi dire... potrsti eser piu chiaro?
come si fa? si prende lo spazio vettoriale e si moltiplica per uno scalare le componenti?
tipo se V=(1,3,5) una base è data da bv=(2,6,10)??
per il latex ho ancora qualche problema non lo conosco... man mano che lo imparo ad usare lo uso...vedi i primi post vedi l'ultimo....
il terzo: trovare una base di uno spazio è qualcosa che uno deve avere ben presente, è ovvio che un insieme del tipo
{x∈ℝ3, x=(0,0,k) k∈ℝ} è generato da (0,0,1), per verificarlo se vuoi fai un conticino, ma è proprio evidente, è praticamente la definizione di spazio generato.
non ho ben capito quel che vuoi dire... potrsti eser piu chiaro?
come si fa? si prende lo spazio vettoriale e si moltiplica per uno scalare le componenti?
tipo se V=(1,3,5) una base è data da bv=(2,6,10)??
"ansioso":Le definizioni che conosco io sono queste:
Matrici simili ed equivalenti sono la stessa cosa?
Per def A equivale a B quando è ottenuta da un numero finito di mosse di gaus... [tex]det(A)=det(B)[/tex] e [tex]r(A)=r(B)[/tex]
Per matrici simili ho questa def. Due matrici A e B sono simili se esiste una matrice M, invertibile, tale che A=M^-1BM e anche qui [tex]det(A)=det(B)[/tex] e [tex]r(A)=r(B)[/tex]
- Due matrici $n xx m$ $A$ e $B$ si dicono equivalenti se esistono due matrici quadrate invertibili $N$ $n xx n$ e $M$ $m xx m$ tali che $MAN=B$.
- Due matrici $n xx n$ $A$ e $B$ si dicono simili se esiste una matrice quadrata invertibile $N$ $n xx n$ tale che $N^{-1}AN=B$.
Si tratta di due nozioni molto diverse. L'equivalenza tra matrici determina una classificazione molto più grossolana di quella relativa alla similitudine. L'equivalenza classifica le matrici per rango. La similitudine invece è molto più fine, basta pensare per esempio al fatto che classifica le matrici diagonalizzabili per insiemi di autovalori (contati con molteplicità).
Comunque forse tu hai una nozione diversa di equivalenza, dato che dici che due matrici equivalenti hanno lo stesso determinante (secondo quanto ho detto io non è così).
non ci deve per forza essere un: come si fa.
piuttosto si deve capire cosa è.
ovvio che se $V=<((1),(2),(3))$ allora una base di $V$ è data anche da $((3.15),(6.30),(9.45))$
ma dovresti capire meglio cos'è uno spazio generato, cos'è una base.
piuttosto si deve capire cosa è.
ovvio che se $V=<((1),(2),(3))$ allora una base di $V$ è data anche da $((3.15),(6.30),(9.45))$
ma dovresti capire meglio cos'è uno spazio generato, cos'è una base.
io come def di equivalenza testaule copiata dal libro è
Siano A,B$in$Mm,n Diremo che A e B sono equivalenti se B si ottine da A mediante un numero finito di operazioni elementari
Successivamente ho visto che per le proprietà del determinante
se B è ottenuta dallo scambio di 2 riche di A Det B=-Det A
se B è ottenuta da una riga di A per k allora Det B=kDet A
se B è ottenuta dalla somma di una riga di A ad un'altra allora Det B=-Det A
ed inoltre per il rango
il rango di A è pari al rango di B se A e B sono equivalenti
per quando invece è conveniente usare gli orlati e o i minori ? nessuna risposta ? ^_^
grazie per le risposte a tutti e due ^_^
Siano A,B$in$Mm,n Diremo che A e B sono equivalenti se B si ottine da A mediante un numero finito di operazioni elementari
Successivamente ho visto che per le proprietà del determinante
se B è ottenuta dallo scambio di 2 riche di A Det B=-Det A
se B è ottenuta da una riga di A per k allora Det B=kDet A
se B è ottenuta dalla somma di una riga di A ad un'altra allora Det B=-Det A
ed inoltre per il rango
il rango di A è pari al rango di B se A e B sono equivalenti
per quando invece è conveniente usare gli orlati e o i minori ? nessuna risposta ? ^_^
grazie per le risposte a tutti e due ^_^
si hai ragione...blackbishop13
come dal mio nick sono abbastanza ansioso e mi scordo che se S è un sistema indipendente minimale allora il prodotto scalare per k di S è una base dello spazio vettoriale...
grazie per avermi "sbloccato"
come dal mio nick sono abbastanza ansioso e mi scordo che se S è un sistema indipendente minimale allora il prodotto scalare per k di S è una base dello spazio vettoriale...
grazie per avermi "sbloccato"
quoto le difinizioni di equivalenza e similitudine di martino, inoltre aggiungo:
-Due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.
-Due matrici sono simili se e solo se rappresentano la stessa applicazione lineare in basi diverse (stessa base dominio e codominio).
Stai attento col determinante, se A e B sono equivalenti non e' detto che det A = det B (con la tua definizione , tramite riduzione di gauss e' immediato).
Infine il metodo dei minori e' molto comodo quando sei alla ricerca di equazioni cartesiane. Ad esempio hai un sottospazio vettoriale descritto tramite generatori,
usando il metodo dei minori orlati trovi delle equazione cartesiane per il sottospazio.
-Due matrici sono equivalenti se e solo se hanno lo stesso rango.
-Due matrici sono simili se e solo se rappresentano la stessa applicazione lineare in basi diverse (stessa base dominio e codominio).
Stai attento col determinante, se A e B sono equivalenti non e' detto che det A = det B (con la tua definizione , tramite riduzione di gauss e' immediato).
Infine il metodo dei minori e' molto comodo quando sei alla ricerca di equazioni cartesiane. Ad esempio hai un sottospazio vettoriale descritto tramite generatori,
usando il metodo dei minori orlati trovi delle equazione cartesiane per il sottospazio.
quindi ad esempio il metodo dei minori risulta esser comodo quando bisogna trovare una base dell' autospazio relativo ad autovalore? perchè li bisogna poi prendere le eq cartesiane fare un sistema e determinare parametri e variabili affinche si posa ottenere qualcosa del tipo
$L(A)={(\lambda,0,\lambda/2)}$
$B(A)=(2,0,1)$
esempio coerente?
$L(A)={(\lambda,0,\lambda/2)}$
$B(A)=(2,0,1)$
esempio coerente?
"Martino":Le definizioni che conosco io sono queste:
[quote="ansioso"]Matrici simili ed equivalenti sono la stessa cosa?
Per def A equivale a B quando è ottenuta da un numero finito di mosse di gaus... [tex]det(A)=det(B)[/tex] e [tex]r(A)=r(B)[/tex]
Per matrici simili ho questa def. Due matrici A e B sono simili se esiste una matrice M, invertibile, tale che A=M^-1BM e anche qui [tex]det(A)=det(B)[/tex] e [tex]r(A)=r(B)[/tex]
- Due matrici $n xx m$ $A$ e $B$ si dicono equivalenti se esistono due matrici quadrate invertibili $N$ $n xx n$ e $M$ $m xx m$ tali che $MAN=B$.
- Due matrici $n xx n$ $A$ e $B$ si dicono simili se esiste una matrice quadrata invertibile $N$ $n xx n$ tale che $N^{-1}AN=B$.
Si tratta di due nozioni molto diverse. L'equivalenza tra matrici determina una classificazione molto più grossolana di quella relativa alla similitudine. L'equivalenza classifica le matrici per rango. La similitudine invece è molto più fine, basta pensare per esempio al fatto che classifica le matrici diagonalizzabili per insiemi di autovalori (contati con molteplicità).
Comunque forse tu hai una nozione diversa di equivalenza, dato che dici che due matrici equivalenti hanno lo stesso determinante (secondo quanto ho detto io non è così).[/quote]
ho questo su wiki... non che wiki sia dio... però ^_^ può esser utile per qualcuno http://it.wikipedia.org/wiki/Matrici_si ... invarianti
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