Algebra: calcolo base di spazio vettoriale

[carl.eddy]

Salve, un esercizio del libro chiede di trovare la base dello spazio vettoriale R^4 e mi fornisce 4 vettori. Nella spiegazione dice che siccome il numero dei vettori corrisponde alla dimensione dello spazio vettoriale, allora per verificare se si tratta di una base basta controllare se i vettori sono linearmente indipendenti OPPURE verificare se sono un sistema di generatori. La mia domanda è: perché se il numero dei vettori coincide con la dimensione allora basta una sola delle due verifiche? io faccio entrambe le verifiche ogni volta, c'é forse un teorema o una spiegazione al fatto che ne basti solo una?
grazie

[Trilogy]

Controlla che ogni frase ti sia chiara.

Premesse: ogni base di $\mathbb R^4$ ha esattamente quattro elementi. Un insieme di $n$ vettori linearmente indipendenti genera uno spazio di dimensione $n$.

Se i tuoi quattro vettori sono linearmente indipendenti, allora generano uno spazio di dimensione $4$ contenuto in $\mathbb R^4$. L'unico spazio così è $\mathbb R^4$.

Se i tuoi quattro vettori generano tutto $\mathbb R^4$ e per assurdo sono linearmente dipendenti, significa che almeno uno di questi è inutile, non ti serve per generare $\mathbb R^4$. Ma se lo togli ti resta un insieme di tre vettori che generano $\mathbb R^4$, assurdo.

[carl.eddy]

"Trilogy":Controlla che ogni frase ti sia chiara.

Premesse: ogni base di $\mathbb R^4$ ha esattamente quattro elementi. Un insieme di $n$ vettori linearmente indipendenti genera uno spazio di dimensione $n$.

Se i tuoi quattro vettori sono linearmente indipendenti, allora generano uno spazio di dimensione $4$ contenuto in $\mathbb R^4$. L'unico spazio così è $\mathbb R^4$.

Se i tuoi quattro vettori generano tutto $\mathbb R^4$ e per assurdo sono linearmente dipendenti, significa che almeno uno di questi è inutile, non ti serve per generare $\mathbb R^4$. Ma se lo togli ti resta un insieme di tre vettori che generano $\mathbb R^4$, assurdo.

L'esempio dell'assurdo mi ha schiarito le idee, grazie mille

[cooper1]

aggiungo una cosa estendendo l'intervento di Trilogy. vale il seguente

Teorema
Sia $V$ uno spazio vettoriale contenente una base di $n$ vettori. le seguenti affermazioni sono allora equivalenti:

1. ogni sistema libero T di $n$ vettori è una base di V;
2. ogni sistema S di $m > n$ elementi è l.d.;
3. ogni sistema U di $m < n$ vettori non può generare V;
4. ogni sistema L di $n$ vettori che genera V ne costituisce una base.
[/list:u:34rpvh9l]