Algebra: base di uno spazio delle soluzioni

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Ciao a tutti, sto svolgendo un esercizio di algebra e avrei bisogno che qualcuno gli dia un'occhiata:

Sia $f$ $:$ $RR^3 to RR^3$ un'applicazione lineare associata alla matrice $A = M^{C,C}_f$ dove $C = (v_1, v_2, v_3)$ con

$A = ((1, 1, 2), (1, -1, 1), (1, -3, 0))$

$v_1 = (1, -1, 2)$
$v_2 = (0, 1, 1)$
$v_3 = (0, 2, -1)$

a) trovare una base $S$ dello spazio $S_\Sigma$ delle soluzioni del sistema lineare $\Sigma$ $:$ $AX = 0$
[poi ci sono altri punti su cose che non ho fatto completamente e ho ommesso]

allora ho ridotto in TSC la matrice $A$ ottenendo (se non ho sbagliato trasformazioni)

$A' = ((1, 1, 2), (0, -2, -1))$

cioè:

$\{(x + y + 2z = 0), (-2y - z = 0):}$

ora guardo quante incognite libere ci sono con rouchè-capelli:

$3 - \rho(A') = 1$

ora se non ho capito male guardo le colonne di $A'$, e l'incognita libera deve essere nella colonna linearmente dipendente dalle altre

allora si prende la z e ho (se non ho sbagliato i conti):

$S_\Sigma = \{({-3z} / 2, -z/2, z) | z in RR}

a questo punto per la base, pongo z a (1, 0, 0) e, se fino a qui ho fatto giusto, arrivo a:

$B = (-3 / 2, -1/2, 1)

se qualcuno mi guarda l'esercizio mi fa un favore perchè farli e non sapere poi come era da fare in realtà mette ansia .

Poi non mi è per niente chiara la notazione $A = M^{C,C}_f$, cioè ho capito che $f$ è applicazione lineare, $C$ le basi di due spazi vettoriali ma messo tutto assieme con la matrice non mi si incolla concettualmente.

Grazie ciao

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riprendo da questo post visto che l'esercizio è lo stesso.

il secondo punto del problema dice:

trovare una base $k$ di $ker(f)$ i cui vettori siano espressi sia in base $C$ sia in base canonica

ma alla fine il 90% di quello che mi chiedono è la stessa cosa che mi chiede al punto prima no?

Quindi una volta risolto il sistema il calcolo della base non mi convince, nel post prima dico che la base $S$ dello spazio delle soluzioni $S_\Sigma$ è

$S = (-3/2, -1/2, 1)$

Però c'è un solo vettore e non mi convince, ho pensato che essendo $f$ in $RR^3$ devo usare (1,0,0),(0,1,0)(0,0,1) come base canonica e quindi per esprimere anche lo spazio delle soluzioni in quella forma devo fare

$S = (-3/2, 0, 0),(0, -1/2, 0), (0, 0,1)$

E per esprimerlo invece in base $C$ ho pensato che devo trovare con quali coefficienti combinare i vettori di $C$ per arrivare ad ottenere $S$

E' che vado a tentoni quale sarebbe l'algoritmo?

grazie