Algebra applicazioni

[Pivot1]

Salve a tutti. Volevo un parere su questo esercizio.

Sia f : R^3 --> R^2 / f(x,y,z)-->(x + y, y + z);

Calcolare:

1) base KerF e dim Kerf

2) base ImF e dim ImF

3) vedere se f è iniettiva e suriettiva.


Ora io ho fatto così:

2)

e_1 = (1,0,0) --> f(1,0,0) = (1,0);
e_2 = (0,1,0) --> f(0,1,0) = (1,1);
e_3 = (0,0,1) --> f(0,0,1) = (0,1);


poi ho formato la matrice A:

1 1 0
0 1 1

da cui si vede subito che:

rango A = dim ImF = 2

una base è data della colenne che coinvolgono il minore, cioè:

base ImF = {(1,0) (1,1)}


Poi

1)

Ho applicato la definizione di nucleo, cioè

KerF = {(x,y,z) di R^3 / f(x,y,z) = (x + y, y + z) = (0,0)};

quindi:

x + y = 0
y + z = 0

da cui ho una variabile libera y. (cioè dim KerF = 1)
(Si poteva fare anche con il teorema della dimansione cioè: dim R^3 - dim Imf = dim KerF )

Una base sarà formata da tutti e soli i vettori del tipo:

base KerF = { -y, y, -y};

quindi scegliendo y = 1 trovo:

base KerF = { -1, 1, -1};



dopo

3)

Affinche f sia iniettica, deve essere necessariamente KerF ={0};
poichè KerF = 1 essa non è iniettiva.

Invece f è suriettiva poichè la dimensione dell'immagine di f coincide con quella dello spazio di arrivo R^2

dim ImF = R^2 = 2 cioè f è suriettiva.





Secondo voi è giusto? (In particolare il secondo e il terzo punto.)

I) E sempre vero che quando dim ImF = dim spazio di arrivo f è suriettiva?
II) In precedenza nel punto 2 avevo considerato la matrice anzicchè per colonne per righe cioe,

10
11
01

facendo così....è vero che la base Im f sara data delle righe linearmente indipendenti?

III)
Secondo voi una volta trovati i vettori di arrivo come mi conviene scrivere la matrice per trovare una base dell'immagine,
con la sua dimensione? (trovo un po di difficolta nell'impostazione della matrice)

Grazie anticipate.

[Camillo]

Ho guardato rapidamente la tua soluzione : è corretta .
Dim ker f = 1 , una base di ker è : (-1,1,-1) come dici oppure anche ( 1,-1,1) etc.
Dim Im f = 2 , quindi Imf = R^2 e pertanto puoi prendere come base i vettori canonici : $e_1=(1,0) ; e_2=(0,1)$
ma anche quelli che dici tu vanno benissimo.
Non è iniettiva ma è suirettiva .
Se tu avessi risolto prima il punto 1 arrivando alla conclusione che dim ker f = 1 , come in effetti sei arrivato dopo , potevi subito concludere per il teorema della dimensione che Dim Im f = 2 e quindi Imf coincide con R ^2.

Camillo

[Pivot1]

Va bene, ti ringrazio camillo. Sono contento di essere riuscito a capirci qualcosa. ciao