ALGEBRA-aiuto su esercizio (sottospazi e dim)
ciao a tutti!
mi ero bloccato su un esercizio e volevo sapere se qualcuno potrebbe darmi una mano, basterebbe anche solo la prima parte!
scusate se metto il link all'immagine hostata ma non riesco a scrivere il testo
http://tinypic.com/r/11c5nnp/5
non riesco a capire in questo caso come fare la somma e l'intersezione
grazie ciao!
mi ero bloccato su un esercizio e volevo sapere se qualcuno potrebbe darmi una mano, basterebbe anche solo la prima parte!
scusate se metto il link all'immagine hostata ma non riesco a scrivere il testo
http://tinypic.com/r/11c5nnp/5
non riesco a capire in questo caso come fare la somma e l'intersezione
grazie ciao!
Risposte
Ciao mexuss 
Ho letto il tuo esercizio e ho fatto il primo punto che riguarda l'intersezione tra i due sottospazi. Ti scrivo due possibili strade equivalenti con cui puoi intervenire.
1) Dato che ti vengono chiesti i vettori dell'intersezione, applica direttamente la definizione. L' intersezione è data dai vettori comuni a $ S $ e a $ T $. Questi vettori si trovano comunque in $ S $ e in $ T $ e quindi sono esprimibili come combinazione lineare di una base si $ S $ e di una basa di $ T $. Puoi quindi scrivere $ alpha_1(1+x)+alpha_2(1-x^2)=beta_1(2+x+x^2)+beta_2(x+x^2) $. Risolvi il sistema che deriva dal principio di identità dei polinomi
$ { ( alpha_1+alpha_2=2beta_1 ),( alpha_1=beta_1+beta_2 ),( -alpha_2=beta_1+beta_2 ):} $ che ha come soluzione $ { ( beta_1=0 ),( alpha_1=beta_2 ),( alpha_2=-beta_2 ):} $.La dimensione dell'intersezione è quindi 1 perchè c' è solo dipendenza da $ beta_2 $. Quindi fissi un certo valore di $ beta_2 $ e ti ottieni che i vettori dell'intersezione sono dati dalle combinazioni lineari di $ x+x^2 $.
2) Usi le equazioni cartesiane. Fissi una base di $ R_2[x] $ esempio la canonica $ 1,x,x^2 $. Ottieni che $ S=span({: ( 1 ),( 1 ),( 0 ) :}),({: ( 1 ),( 0 ),( -1 ) :}) $ e $ T=span({: ( 2 ),( 1 ),( 1 ) :}),({: ( 0 ),( 1 ),( 1 ) :}) $. Un generico vettore di $ S $ ha equazioni cartesiane $ z-y+x=0 $ e mentre un generico vettore di $ T $ $ z-y=0 $. Ora fai un sistema tra queste due equazioni e ottieni $ { ( x=0 ),( z=y ):} $ cioè hai che una base è $ ({: ( 0 ),( 1 ),( 1 ) :}) $ ossia in termini di polinomi $ x+x^2 $.
Ho saltato il passaggio dove si ricavano le equazioni cartesiane però se non ti è chiaro poi te lo scrivo.
Ciao!
Ho letto il tuo esercizio e ho fatto il primo punto che riguarda l'intersezione tra i due sottospazi. Ti scrivo due possibili strade equivalenti con cui puoi intervenire.
1) Dato che ti vengono chiesti i vettori dell'intersezione, applica direttamente la definizione. L' intersezione è data dai vettori comuni a $ S $ e a $ T $. Questi vettori si trovano comunque in $ S $ e in $ T $ e quindi sono esprimibili come combinazione lineare di una base si $ S $ e di una basa di $ T $. Puoi quindi scrivere $ alpha_1(1+x)+alpha_2(1-x^2)=beta_1(2+x+x^2)+beta_2(x+x^2) $. Risolvi il sistema che deriva dal principio di identità dei polinomi
$ { ( alpha_1+alpha_2=2beta_1 ),( alpha_1=beta_1+beta_2 ),( -alpha_2=beta_1+beta_2 ):} $ che ha come soluzione $ { ( beta_1=0 ),( alpha_1=beta_2 ),( alpha_2=-beta_2 ):} $.La dimensione dell'intersezione è quindi 1 perchè c' è solo dipendenza da $ beta_2 $. Quindi fissi un certo valore di $ beta_2 $ e ti ottieni che i vettori dell'intersezione sono dati dalle combinazioni lineari di $ x+x^2 $.
2) Usi le equazioni cartesiane. Fissi una base di $ R_2[x] $ esempio la canonica $ 1,x,x^2 $. Ottieni che $ S=span({: ( 1 ),( 1 ),( 0 ) :}),({: ( 1 ),( 0 ),( -1 ) :}) $ e $ T=span({: ( 2 ),( 1 ),( 1 ) :}),({: ( 0 ),( 1 ),( 1 ) :}) $. Un generico vettore di $ S $ ha equazioni cartesiane $ z-y+x=0 $ e mentre un generico vettore di $ T $ $ z-y=0 $. Ora fai un sistema tra queste due equazioni e ottieni $ { ( x=0 ),( z=y ):} $ cioè hai che una base è $ ({: ( 0 ),( 1 ),( 1 ) :}) $ ossia in termini di polinomi $ x+x^2 $.
Ho saltato il passaggio dove si ricavano le equazioni cartesiane però se non ti è chiaro poi te lo scrivo.
Ciao!
Perfetto!
Grazie mille Peter Pan, ottima spiegazione. La prima modalità va benissimo, che con le equazioni cartesiane non ho ancora molta confidenza.
Invece per quanto riguarda la somma, potresti sintetizzarmi come risolveresti il quesito?
Grazie ancora per l'aiuto
Grazie mille Peter Pan, ottima spiegazione. La prima modalità va benissimo, che con le equazioni cartesiane non ho ancora molta confidenza.
Invece per quanto riguarda la somma, potresti sintetizzarmi come risolveresti il quesito?
Grazie ancora per l'aiuto
Ciao mexuss
La seconda parte dell'esercizio la puoi risolvere così: noti intanto che la dimensione di $ S+T=3 $. Poichè nella somma $ S+T $ ci stanno i vettori che si possono scrivere come somma di un vettore che sta in $ S $ e di uno che sta in $ T $ puoi prendere come generatori dello spazio tutti i vettori che hai a disposizione e sceglierne 3 che sono linearmente indipendenti.
Ciao!
La seconda parte dell'esercizio la puoi risolvere così: noti intanto che la dimensione di $ S+T=3 $. Poichè nella somma $ S+T $ ci stanno i vettori che si possono scrivere come somma di un vettore che sta in $ S $ e di uno che sta in $ T $ puoi prendere come generatori dello spazio tutti i vettori che hai a disposizione e sceglierne 3 che sono linearmente indipendenti.
Ciao!
giusto!!
che stupido a non averci pensato:)
quindi esatto troviamo che ha dimensione 3 con la formula di grassman, ed essendo gli spazi S e T finitamente generati, la loro somma sarà un sottospazio finitamente generato, dato dall'insieme dei vettori di S e di T. Tuttavia abbiamo detto che x+x^2 sta nell'intersezione, quindi considero i tre vettori restanti tra i generatori di S e di T (che appunto saranno lin indipendenti) che genereranno tutto R2 giusto?
mi sono spiegato un po confusionalmente ma spero sia arrivato ciò che dico.
grazie mille Peter Pan, fin troppo gentile:)
che stupido a non averci pensato:)
quindi esatto troviamo che ha dimensione 3 con la formula di grassman, ed essendo gli spazi S e T finitamente generati, la loro somma sarà un sottospazio finitamente generato, dato dall'insieme dei vettori di S e di T. Tuttavia abbiamo detto che x+x^2 sta nell'intersezione, quindi considero i tre vettori restanti tra i generatori di S e di T (che appunto saranno lin indipendenti) che genereranno tutto R2 giusto?
mi sono spiegato un po confusionalmente ma spero sia arrivato ciò che dico.
grazie mille Peter Pan, fin troppo gentile:)
Esatto il ragionamento che ho seguito è quello.
Ciao!
Ciao!
perfetto!
grazie mille per il supporto!!
grazie mille per il supporto!!
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