Alg. lineare (immagine e ker, algoritmi)
La domanda è questa...
Se ho un'applicazione lineare $F:V->W$ a voglio trovare una base dell'immagine, mi è sufficiente trovarne una del ker (che è più semplice), estenderla a base di $V$ e toglierci i vettori del ker?
Mi spiego con un pò di formule:
$Ker(F)=(v_1,...,v_r)$ estendo a base di $V$ (facendo attenzione all'indipendenza)
$V=(v_1,...,v_r,u_1,...,u_k)$ (elimino i vettori del ker)
$Im(F)=(u_1,...,u_k)$
E' giusto?Rischio errori clamorosi?
Se ho un'applicazione lineare $F:V->W$ a voglio trovare una base dell'immagine, mi è sufficiente trovarne una del ker (che è più semplice), estenderla a base di $V$ e toglierci i vettori del ker?
Mi spiego con un pò di formule:
$Ker(F)=(v_1,...,v_r)$ estendo a base di $V$ (facendo attenzione all'indipendenza)
$V=(v_1,...,v_r,u_1,...,u_k)$ (elimino i vettori del ker)
$Im(F)=(u_1,...,u_k)$
E' giusto?Rischio errori clamorosi?
Risposte
Hmmm... mi sa di no invece. Invece di pensare ad applicazioni $V\toW$ limitiamoci a $V\toV$, che è più semplice. Anzi, prendiamo un esempio concreto in $RR^2$: $f(x,y)=((0,1), (0,0))((x), (y))$. Osserviamo che $fcircf=0$. Da qui ricaviamo che il $"ker"f$ contiene l'immagine di $f$ (cosa che avremmo potuto ricavare per calcolo diretto, ma così mi pare più veloce). E perciò non è vero che ker e immagine sono sempre complementari (=la loro intersezione è ridotta a $\langle0\rangle$).
Anche io ero incappato nello stesso errore, pensando al teorema del rango. Ma in realtà quando si dimostra il teorema del rango si fa un ragionamento un po' diverso: si prende il ker, si estende a base dello spazio $V$, supponiamo aggiungendo i vettori $u_1,...,u_k$, e si dimostra che i vettori $f(u_1)...f(u_k)$ sono una base dell'immagine.
L'inghippo è: $f(u_1)...f(u_k)$ non $u_1,...,u_k$.
Anche io ero incappato nello stesso errore, pensando al teorema del rango. Ma in realtà quando si dimostra il teorema del rango si fa un ragionamento un po' diverso: si prende il ker, si estende a base dello spazio $V$, supponiamo aggiungendo i vettori $u_1,...,u_k$, e si dimostra che i vettori $f(u_1)...f(u_k)$ sono una base dell'immagine.
L'inghippo è: $f(u_1)...f(u_k)$ non $u_1,...,u_k$.
Sisi confermo! il fatto è che il ker e l'immagine sono riferiti a due spazi vettoriali distinti (quello di partenza e quello di arrivo) quindi la loro intersezione potrebbe avere vettori in comune. Vero è il ragionamento per quanto riguarda la dimensione dello spazio di partenza, che è esattamente la dimensione dell'immagine + quella del ker
Anzi aggiungo una cosa, tratta dal famoso pdf di M. Cailotto http://www.math.unipd.it/~maurizio/m2m/AGLQ78pp.pdf , pagina 67, definizione 1.8.3 e problema 1.8.4 .
Questa definizione introduce una classe di applicazioni per le quali vale il risultato di cui si parla in questo topic, ovvero il fatto che nucleo e immagine sono supplementari (o complementari, a seconda del termine che vogliamo usare. In simboli $V="ker "fo+"im "f$).
La cosa interessante è che, in spazi vettoriali di dimensione finita, queste "proiezioni" sono tutte e sole le applicazioni per le quali vale questo fatto. Possiamo anche caratterizzarle a dovere.
Leggiamo infatti l'enunciato del Problema 1.8.4 :
Morale della favola: Non è in generale vero che $V="ker "fo+"im "f$. Questo succede se e solo se $f$ è una proiezione su $"im "f$ nella direzione di $"ker "f$. Un criterio molto rapido per verificarlo è calcolare $f@f$, e controllare se coincide con $f$ oppure no.
_______________________________
(*) Lui veramente usa il termine "complementari", che io prima avevo usato in un'accezione leggermente diversa.
Def.: Siano $U_1, U_2$ sottospazi supplementari (*) di uno spazio vettoriale $V$ (=$V=U_1o+U_2$). Allora l'applicazione $pi_(U_1)^(U_2)$ che ad ogni vettore $v=u_1+u_2$ associa il vettore $u_1$ si dice proiezione di $v$ su $U_1$ nella direzione di $U_2$. Si tratta di una applicazione lineare di immagine $U_1$ e nucleo $U_2$. Osserviamo che $pi_(U_1)^(U_2)@pi_(U_1)^(U_2)=pi_(U_1)^(U_2)$.
Questa definizione introduce una classe di applicazioni per le quali vale il risultato di cui si parla in questo topic, ovvero il fatto che nucleo e immagine sono supplementari (o complementari, a seconda del termine che vogliamo usare. In simboli $V="ker "fo+"im "f$).
La cosa interessante è che, in spazi vettoriali di dimensione finita, queste "proiezioni" sono tutte e sole le applicazioni per le quali vale questo fatto. Possiamo anche caratterizzarle a dovere.
Leggiamo infatti l'enunciato del Problema 1.8.4 :
Sia $V$ uno spazio vettoriale di dimensione finita, $p:V\toV$ lineare tale che $p@p=p$.
a) Si mostri che $V="ker "po+"im "p;
b) [omissis];
c) Dedurre che $p$ è la proiezione su $"im "p$ nella direzione di $"ker "p$.
Quindi una applicazione lineare di uno spazio vettoriale di dimensione finita in sé è una proiezione se e solo se coincide con il proprio quadrato.
Morale della favola: Non è in generale vero che $V="ker "fo+"im "f$. Questo succede se e solo se $f$ è una proiezione su $"im "f$ nella direzione di $"ker "f$. Un criterio molto rapido per verificarlo è calcolare $f@f$, e controllare se coincide con $f$ oppure no.
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(*) Lui veramente usa il termine "complementari", che io prima avevo usato in un'accezione leggermente diversa.
Il tutto mi sembra parecchio astruso...
Cioè si sta affermando che un vettore può appartenere sia al ker che all'immagine?
Se così fosse ad esempio avremo che il ker è sempre contenuto nell'immagine...
Gli esempi li seguo fino ad un certo punto...
Credo di aver capito, ma il tutto mi sembra controintuitivo...credo di esser caduto nell'inghippo a cui faceva riferimeno dissonance...
Cioè si sta affermando che un vettore può appartenere sia al ker che all'immagine?
Se così fosse ad esempio avremo che il ker è sempre contenuto nell'immagine...
Gli esempi li seguo fino ad un certo punto...
Credo di aver capito, ma il tutto mi sembra controintuitivo...credo di esser caduto nell'inghippo a cui faceva riferimeno dissonance...
Adesso credo prprio di aver capito...ringrazio tutti...
Visto che siamo in argomento volevo conferma di un noto fatto...
Se ad esempio ho una matrice associata ad una certa applicazione lineare, e voglio trovare il ker e l'immagine di questa applicazione, decido di muovermi così.
Per l'immagine riduco la matrice a scalini e ne calcolo il rango...
Se il rango è $k$ allora questo "fatto noto" (credo di averlo letto da qualche parte) mi garantisce che i primi $k$ vettori colonna della matrice generano l'immagine...
Per trovare il ker prendo un generico vettore $X$ e pongo $AX=0$, dovrebbe venirmi un sistema di equazioni. lo spazio vettoriale generato da questo sistema di equazioni è uguale al ker dell'applicazione.
Questi due pseudo algoritmi funzionano?E soprattutto il "fatto noto" è giusto/dimostrabile? (la dimostrazione non mi interessa, mi interessa la sua valenza)
ringrazio tutti per eventuali risposte
Visto che siamo in argomento volevo conferma di un noto fatto...
Se ad esempio ho una matrice associata ad una certa applicazione lineare, e voglio trovare il ker e l'immagine di questa applicazione, decido di muovermi così.
Per l'immagine riduco la matrice a scalini e ne calcolo il rango...
Se il rango è $k$ allora questo "fatto noto" (credo di averlo letto da qualche parte) mi garantisce che i primi $k$ vettori colonna della matrice generano l'immagine...
Per trovare il ker prendo un generico vettore $X$ e pongo $AX=0$, dovrebbe venirmi un sistema di equazioni. lo spazio vettoriale generato da questo sistema di equazioni è uguale al ker dell'applicazione.
Questi due pseudo algoritmi funzionano?E soprattutto il "fatto noto" è giusto/dimostrabile? (la dimostrazione non mi interessa, mi interessa la sua valenza)
ringrazio tutti per eventuali risposte
"angus89":
Per l'immagine riduco la matrice a scalini e ne calcolo il rango...
Se il rango è $k$ allora questo "fatto noto" (credo di averlo letto da qualche parte) mi garantisce che i primi $k$ vettori colonna della matrice generano l'immagine...
Non è proprio così, stai attento. Ad esempio prendi la matrice $((0,1), (0,1))$ che è già ridotta a scalini e ha rango 1: ti pare che $((0),(0))$ generi l'immagine? Riguardati la teoria riguardo questo metodo. (Mi pare che proprio Sergio lo aveva esposto nei dettagli tempo fa).
si... allora
Ho trovato questa parte di teoria su un testo e mi dice che se A è ridotta a scalini allora posso fare quello che dico, però i vettori che generano li trovo la primo pivot non nullo (ovvero prendo la riga e vado avanti finché non trovo un numero e poi faccio come ho detto).
Quindi anche nel tuo caso andrebbe bene...
Il problema è che così trovo i generatori di A
Ma se io ho una matrice B non ridotta a scalini...
Come faccio a trovare l'immagine?
Posso determinarne la dimensione riducendola a scalini ma come faccio a trovare una base dell'immagine.
Comunque se Sergio ha esposto il tutto mi farebbe molto piacere leggere ciò che ha scritto... se qualcuno ricorda la discussione posti pure il link.
Ho trovato questa parte di teoria su un testo e mi dice che se A è ridotta a scalini allora posso fare quello che dico, però i vettori che generano li trovo la primo pivot non nullo (ovvero prendo la riga e vado avanti finché non trovo un numero e poi faccio come ho detto).
Quindi anche nel tuo caso andrebbe bene...
Il problema è che così trovo i generatori di A
Ma se io ho una matrice B non ridotta a scalini...
Come faccio a trovare l'immagine?
Posso determinarne la dimensione riducendola a scalini ma come faccio a trovare una base dell'immagine.
Comunque se Sergio ha esposto il tutto mi farebbe molto piacere leggere ciò che ha scritto... se qualcuno ricorda la discussione posti pure il link.
Sai dato che non ero sicuro del mio metodo ho utilizzato inconsapevolmente il metodo del tuo prof.
Alla fine ragioni sulle combinazioni lineari dei vettori.
Solo che in genere non so' se quello che resta genera...
Cioe'...in genere lo dimostro impostando un sistema...
Mi garantisci che non e' necessario dimostrare che sono indipendenti?
Alla fine ragioni sulle combinazioni lineari dei vettori.
Solo che in genere non so' se quello che resta genera...
Cioe'...in genere lo dimostro impostando un sistema...
Mi garantisci che non e' necessario dimostrare che sono indipendenti?
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