[Alg. Lin] Polinomio caratteristico
Si cosideri l'applicazione $f_t: \mathbb{R^3} \to \mathbb{R}^3$ e $ t \in mathbb{R}$ tale che
$f_t(t,0,1) = (4t,0,1+3t)$
$f_t(1,-1,0) = (2,-1-2t,1)$
$f_t(1,3,0) = (2,3+6t,1)$
Ho trovato la matrice $A_t$ associata a $f_t$ nelle basi ${e_1,e_2,e_3}$ e mi viene
$A_t = [[2,0,5t],[0,\frac{8t+4}{4},\frac{6t^2-6t}{4}],[1,0,-t]]$
Devo studiare gli autovalori/autovettori di $A_1$ che è
$A_1 = [[2,0,5],[0,3,0],[1,0,-1]]$
Mi viene fuori però un polinomio di 4 grado... come lo tratto??
E, seconda domanda... come trovo in base a $t$ la $dim(ker(A_t))$( fare $3 - dim(Img(A_t))$ in base a come varia $t$ è troppo semplice, vero)??
Ciauz
$f_t(t,0,1) = (4t,0,1+3t)$
$f_t(1,-1,0) = (2,-1-2t,1)$
$f_t(1,3,0) = (2,3+6t,1)$
Ho trovato la matrice $A_t$ associata a $f_t$ nelle basi ${e_1,e_2,e_3}$ e mi viene
$A_t = [[2,0,5t],[0,\frac{8t+4}{4},\frac{6t^2-6t}{4}],[1,0,-t]]$
Devo studiare gli autovalori/autovettori di $A_1$ che è
$A_1 = [[2,0,5],[0,3,0],[1,0,-1]]$
Mi viene fuori però un polinomio di 4 grado... come lo tratto??
E, seconda domanda... come trovo in base a $t$ la $dim(ker(A_t))$( fare $3 - dim(Img(A_t))$ in base a come varia $t$ è troppo semplice, vero)??
Ciauz
Risposte
per la dim del kernel.... in teoria io avrei trovato che $rk(A_t) = 3$ se $t \ne 0$ e $t \ne \frac{1}{2}$ e invece se $t=0$ allora $rk(A_t) = 1$.
Se invece $ t = \frac{1}{2}$ allora $rk(A_t) = 2$.
Quindi nel primo caso il ker è 0 e nel secondo 2 nel terzo 1
Se invece $ t = \frac{1}{2}$ allora $rk(A_t) = 2$.
Quindi nel primo caso il ker è 0 e nel secondo 2 nel terzo 1
altre due domandine ...
1) per quali $t$ $^tA_t+A_t$ è definita positiva??
2)per quali $t$ è diagonalizzabile sui reali???
per la uno verifico che i minori siano sempre positibi ma per la seconda?? Dovrei gli autovalori(mi viene un palinomio di $deg(p) \ge 3$ che devo capire come abbassare ma vabbè) e poi verifico $\forall i = {1, \cdots,\n}$ $g(\lambda_i) = a(\lambda_i)$ ma con $t$ in mezzo come me la cavo??
Ciauz
1) per quali $t$ $^tA_t+A_t$ è definita positiva??
2)per quali $t$ è diagonalizzabile sui reali???
per la uno verifico che i minori siano sempre positibi ma per la seconda?? Dovrei gli autovalori(mi viene un palinomio di $deg(p) \ge 3$ che devo capire come abbassare ma vabbè) e poi verifico $\forall i = {1, \cdots,\n}$ $g(\lambda_i) = a(\lambda_i)$ ma con $t$ in mezzo come me la cavo??
Ciauz
scusa una semplice domanda... ma se la matrice è di ordine tre come ti viene fuori un polinomio di quarto grado????
hai che la matrice
$A_1 = [[2,0,5],[0,3,0],[1,0,-1]]$
quindi il polinomio caratteristico (sviluppando con Laplace lungo la seconda riga)
$P(x)=-(x-2)(x+1)+5$ non vedo dove sia il polinomio di quarto grado ....
Ps ricorda che una matrice 3x3 ha un polinomio al più di terzo grado...
invece è così semplice
anche qui ricorda che le colonne (o righe) l.i. sono una base dell'immagine (quindi ti puoi ricavare velocemente la sua dimensione), e ricorda anche che $dim(KerA_t)+dim(ImA_t)=dimRR^3$, i calcoli del secondo post non gli ho controllati, ma come logica van bene... ricorda che trovi come varia t anche semplicemnete facendo delle operazioni per righe e per colonne dicutendo poi come varia il rango al variare di t.
per il post 3
1) $t^(t*A_t)+A_t$ è questo che ti chiede? (ricorda magari il th di Silvestre)
2) una matrice reale è sempre diagonalizzabile $<=>$ la molteplicità geometrica degli autovalori è uguale alla molteplicità algebrica dei suoi autovalori.
$A_1 = [[2,0,5],[0,3,0],[1,0,-1]]$
quindi il polinomio caratteristico (sviluppando con Laplace lungo la seconda riga)
$P(x)=-(x-2)(x+1)+5$ non vedo dove sia il polinomio di quarto grado ....
Ps ricorda che una matrice 3x3 ha un polinomio al più di terzo grado...
invece è così semplice
anche qui ricorda che le colonne (o righe) l.i. sono una base dell'immagine (quindi ti puoi ricavare velocemente la sua dimensione), e ricorda anche che $dim(KerA_t)+dim(ImA_t)=dimRR^3$, i calcoli del secondo post non gli ho controllati, ma come logica van bene... ricorda che trovi come varia t anche semplicemnete facendo delle operazioni per righe e per colonne dicutendo poi come varia il rango al variare di t.per il post 3
1) $t^(t*A_t)+A_t$ è questo che ti chiede? (ricorda magari il th di Silvestre)
2) una matrice reale è sempre diagonalizzabile $<=>$ la molteplicità geometrica degli autovalori è uguale alla molteplicità algebrica dei suoi autovalori.
"miuemia":
scusa una semplice domanda... ma se la matrice è di ordine tre come ti viene fuori un polinomio di quarto grado????
3... ho sbagliato a mettere il simbolo
"fu^2":
hai che la matrice
$A_1 = [[2,0,5],[0,3,0],[1,0,-1]]$
I calcoli sono quindi giusti??
"fu^2":
il polinomio caratteristico (sviluppando con Laplace lungo la seconda riga)
$P(x)=-(x-2)(x+1)+5$ non vedo dove sia il polinomio di quarto grado ....
Ps ricorda che una matrice 3x3 ha un polinomio al più di terzo grado...
Ok...
"fu^2":
invece è così semplice
Quindi qualcosa la so
"fu^2":
ricorda che trovi come varia t anche semplicemnete facendo delle operazioni per righe e per colonne dicutendo poi come varia il rango al variare di t.
Cioè?
"fu^2":
per il post 3
1) $t^(t*A_t)+A_t$ è questo che ti chiede? (ricorda magari il th di Silvestre)
ho $^tA_t + A_t
"fu^2":
2) una matrice reale è sempre diagonalizzabile $<=>$ la molteplicità geometrica degli autovalori è uguale alla molteplicità algebrica dei suoi autovalori.
Ok...ma con il t di mezzo come faccio a farlo?
Io ho $A_t$ ma t è generico reale...
Ciauz
una cosa stupida con $^tA_t$ indichi la trasposta? se è così sommi le due matrici e calcoli gli autovalori, per il th di silvestre sai che una matrice è definita positiva sse ha tutti gli autovalori positivi.
per righe e colonne vuol dire dommare e sottrarre tra loro... oppure quello che vuoi come metodo, basta che arrivi a discutere il rango
infine per l'ultimo pezzo potresti lanciarti nel calcolare il polinomio caratteristico con t tra i piedi e valutare come cambiano i risultati al variare di t (cioè il numero di sluzioni coincidenti ti interessa) e poi valutare la molteplicità geometrica...
tanto saran al massimo due tre valori da discutere
se mi vengon in mente strade più veloci ti dico... queste son quelle che mi son venute di prima botta..
edit: sono pigro, i calcoli non ho fatto caso se sono giusti o no.. ma penso che nn ti crea un dramma questo scherzo...
per righe e colonne vuol dire dommare e sottrarre tra loro... oppure quello che vuoi come metodo, basta che arrivi a discutere il rango
infine per l'ultimo pezzo potresti lanciarti nel calcolare il polinomio caratteristico con t tra i piedi e valutare come cambiano i risultati al variare di t (cioè il numero di sluzioni coincidenti ti interessa) e poi valutare la molteplicità geometrica...
tanto saran al massimo due tre valori da discutere
se mi vengon in mente strade più veloci ti dico... queste son quelle che mi son venute di prima botta..
edit: sono pigro, i calcoli non ho fatto caso se sono giusti o no.. ma penso che nn ti crea un dramma questo
scherzo...
"fu^2":
una cosa stupida con $^tA_t$ indichi la trasposta?
esatto
allora puoi procedere come ho consigliato nel post prima
EDIT: è straordinario come un cambio di notazione mi manda in crisi hihih... io le t le metto in alto a destra davanti non mi piacciono... ma questi son miei trip mentali inutili hehe
EDIT: è straordinario come un cambio di notazione mi manda in crisi hihih... io le t le metto in alto a destra davanti non mi piacciono... ma questi son miei trip mentali inutili hehe
"fu^2":
è straordinario come un cambio di notazione mi manda in crisi hihih... io le t le metto in alto a destra davanti non mi piacciono... ma questi son miei trip mentali inutili hehe
hai proprio ragione...
Uff.... ho l'esame vene...
Ciauz
io me lo son già levato due settimane fa quasi...
in bocca al lupo
due settimane fa quasi...in bocca al lupo
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