Alcuni dubbi sui sottospazi vettoriali.
Buona sera a tutti, avrei alcune lacune nel risolvere esercizi sui sottospazi vettoriali benché dal punto di vista teorico sia molto semplice. Posto qualche esempio:
Avendo $M={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=0}$ dovrei dire se si tratta di un sottospazio vettoriale o meno. Poiché so dalla teoria che un insieme è sottospazio vettoriale se e solo se è chiuso rispetto alle operazioni di somma è prodotto; come verifico che quest'ultimo lo sia?
Nel nostro caso dovrei verificare procedendo come segue: $(x+x_1)^2+(y+y_1)^2+(z+z_1)^2=0$ oppure facendo $x^2+(x_1)^2+y^2+(y_1)^2+z^2+(z_1)^2=0$? Risulta chiaro comunque che l'unica soluzione del sistema in una sola equazione è la terna $|0,0,0|$ e che quindi tale sottospazio corrisponde al sottospazio banale ${O}$. In questo caso lo span(O) corrisponderà sempre a 0, giusto?
Prendendo un altro esercizio del tipo: $Z={(x,y,z)|x^2+y^2=0}$. Come dovrei muovermi? Come determino i generatori del sottospazio?
Grazie a tutti.
Avendo $M={(x,y,z)|x^2+y^2+z^2=0}$ dovrei dire se si tratta di un sottospazio vettoriale o meno. Poiché so dalla teoria che un insieme è sottospazio vettoriale se e solo se è chiuso rispetto alle operazioni di somma è prodotto; come verifico che quest'ultimo lo sia?
Nel nostro caso dovrei verificare procedendo come segue: $(x+x_1)^2+(y+y_1)^2+(z+z_1)^2=0$ oppure facendo $x^2+(x_1)^2+y^2+(y_1)^2+z^2+(z_1)^2=0$? Risulta chiaro comunque che l'unica soluzione del sistema in una sola equazione è la terna $|0,0,0|$ e che quindi tale sottospazio corrisponde al sottospazio banale ${O}$. In questo caso lo span(O) corrisponderà sempre a 0, giusto?
Prendendo un altro esercizio del tipo: $Z={(x,y,z)|x^2+y^2=0}$. Come dovrei muovermi? Come determino i generatori del sottospazio?
Grazie a tutti.
Risposte
In che senso lo span(0) corrisponderà sempre a zero?
Si comunque, M è il sotto spazio banale . Tuttavia, dovresti specificare, $M,Z$ sottospazi di chi?e su quale campo?
Si comunque, M è il sotto spazio banale . Tuttavia, dovresti specificare, $M,Z$ sottospazi di chi?e su quale campo?
Intendo dire, lo span del sottospazio banale O sará sempre uguale a 0? Comunque quelli che ho elencato sono sottoinsiemi di $R^3$. Grazie della risposta.
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