Aiuto urgentissimo

[Sk_Anonymous]

Si consideri la matrice
A =

1 0 a
0 1 0
0 0 1
Calcolare la dimensione del sottospazio L(A,A^2,A^−1) di M3(R) al
variare di a in R.
mi sono trovato le matrici A^2 e A^-1
A^2=
1 0 2a
0 1 0
0 0 1

A^-1=
1 0 -a
0 1 0
0 0 1
Come si trova la dimensione, conoscendo le matrici?
perfavore potete rispondermi? è urgente

[pat871]

Innanzitutto dovresti vedere per quali $a$ le matrici sono linearmente indipendenti in $L(A,A^2, A^(-1))$.
Cioè, detto in termini matematici, per quali $a$ vale
$c_1*A + c_2*A^2 + c_3*A^(-1) = 0 \Rightarrow c_1 = c_2 = c_3 = 0$
Ti escono in particolare due equazioni:
$c_1 + c_2 + c_3 = 0$
$c_1*a + c_2*(2a) + c_3*(-a) = 0$
Sono due equazioni per tre incognite, infinite soluzioni.
Per cui i tre vettori non potranno mai essere linearmente indipendenti visto che le soluzioni possono essere anche diverse da 0.
Prendiamo allora solo le prime due matrici:
$c_1*A + c_2*A^2 = 0$ è equivalente a
$c_1 + c_2 = 0$ & $c_1*a + c_2*(2a) = 0$
da cui:
$c_1*a - c_1*(2a) = 0$
$c_1*(-a) = 0$

Distinguiamo i casi:
- $a ne 0$:
$c_1 = 0$ e quindi anche $c_2 = 0$.
In questo caso il sottospazio ha dimensione 2, formato dai vettori base $A$ e $A^2$.


- $a = 0$:
in questo caso il sottospazio ha dimensione 1, formato dal vettore base matrice identità.

Aspetto conferme o smentite...

[Sk_Anonymous]

grazie mille