Aiuto urgente1! potete controllare se ho fatto degli errori?
salve a tutti..ieri ho dato un esame di geometria e ho 3 giorni per preparare l'orale in cui devo anche correggere gli errori fatti nel compito scritto, poiché non so se ho scritto delle cavolate o se i miei ragionamenti siano corretti, volevo chiedervi se potete controllare il mio compito...
grazie mille a tutti quelli che risponderanno.
1. Dato il sottospazio vettoriale $ V= L(0,1,-1) $ di $ R^(3) $, sia f l’endomorfismo di $ R^(3) $ avente V come autospazio relativo all’autovalore 1 e tale che $ f(2,2,2)=f(1,-1,0)=(0,0,0) $
(a) verificare (senza utilizzare il polinomio caratteristico) che 0 e’ autovalore di f e determinare il corrispondente autospazio;
(b) stabilire se f e’ semplice e, in caso affermativo, indicarne una matrice diagonale.
(c) calcolare $ f(1,2,3) $ .
Io ho scritto:
$ { ( f(0, 1,-1)=(0, 1,-1) ),( f(2,2,2)=(0,0,0) ),( f(1,-1,0)=(0,0,0) ):} $
da cui ricavo (scusate se non metto tutti i passaggi ma sto diventando matta...non riesco proprio a scrivere i vettori nel sistema)
$ { ( f(1,0,0)=f(0,1,0)=(0,1/3,-1/3) ),( f(0,0,1)=(0,-2/3,2/3) ):} $
e quindi la matrice diventa $ M = ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1/3 , 1/3 , -2/3 ),( -1/3 , -1/3 , 2/3 ) ) $
(a) Impongo che λ=0 sia autovalore e riduco per righe la relativa matrice $ ( ( 1/3 , 1/3 , -2/3 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ e quindi $ x+y-2z=0 $ e $ x=2z-y $ $ x=2z-y $
ho trovato quindi $ V0={(2z-y,y,z)}AA y,z in RR $
quindi se λ=0 è autovalore e V0 è autospazio deve essere rispettata la definizione che f(v)=λ*(v) e quindi
$ { ( f(2,0,1)=(0,0,0) ),( f(-1,1,0)=(0,0,0) ):} $ $ { ( f(2,0,1)=(0,2/3,-2/3)+(0,-2/3,2/3) ),( f(-1,1,0)=(0,-1/3,1/3)+(0,1/3,-1/3) ):} $
e ho quindi verificato che λ=0 è un autovalore.
(b) det[A-λI]= (-λ)*[(1/3 - λ)*(2/3 - λ) - 2/9]=0
(-λ)*(λ^2 - λ)=0
quindi λ=0 con molteplicità 2 e λ=1 con molteplicità 1
se λ=0 $ V0={(2z-y,y,z)}AA y,z in RR $ (trovato prima) e $ dimV0=2 $
se λ=1 $ ( ( -1 , 0 , 0 ),( 1/3 , -2/3 , -2/3 ),( -1/3 , -1/3 , -1/3 ) ) $ che ridotta diventa $ ( ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , -2 , -2 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
quindi $ { ( x=0 ),( y=-z ):} $ e $ V1={(0,y,-y)}AA y in RR $ e $ dimV1=1 $
quindi f è semplice e $ D=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
(c) $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1/3 , 1/3 , -2/3 ),( -1/3 , -1/3 , 2/3 ) )( ( 1 ),( 2 ),( 3 ) )=( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $
Grazie ancora a tutti!
chiedo scusa se non sono riuscita a scrivere tutto correttamente, ma devo ancora capire un po' di cose su come si scrivono le formule..
grazie mille a tutti quelli che risponderanno.
1. Dato il sottospazio vettoriale $ V= L(0,1,-1) $ di $ R^(3) $, sia f l’endomorfismo di $ R^(3) $ avente V come autospazio relativo all’autovalore 1 e tale che $ f(2,2,2)=f(1,-1,0)=(0,0,0) $
(a) verificare (senza utilizzare il polinomio caratteristico) che 0 e’ autovalore di f e determinare il corrispondente autospazio;
(b) stabilire se f e’ semplice e, in caso affermativo, indicarne una matrice diagonale.
(c) calcolare $ f(1,2,3) $ .
Io ho scritto:
$ { ( f(0, 1,-1)=(0, 1,-1) ),( f(2,2,2)=(0,0,0) ),( f(1,-1,0)=(0,0,0) ):} $
da cui ricavo (scusate se non metto tutti i passaggi ma sto diventando matta...non riesco proprio a scrivere i vettori nel sistema)
$ { ( f(1,0,0)=f(0,1,0)=(0,1/3,-1/3) ),( f(0,0,1)=(0,-2/3,2/3) ):} $
e quindi la matrice diventa $ M = ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1/3 , 1/3 , -2/3 ),( -1/3 , -1/3 , 2/3 ) ) $
(a) Impongo che λ=0 sia autovalore e riduco per righe la relativa matrice $ ( ( 1/3 , 1/3 , -2/3 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $ e quindi $ x+y-2z=0 $ e $ x=2z-y $ $ x=2z-y $
ho trovato quindi $ V0={(2z-y,y,z)}AA y,z in RR $
quindi se λ=0 è autovalore e V0 è autospazio deve essere rispettata la definizione che f(v)=λ*(v) e quindi
$ { ( f(2,0,1)=(0,0,0) ),( f(-1,1,0)=(0,0,0) ):} $ $ { ( f(2,0,1)=(0,2/3,-2/3)+(0,-2/3,2/3) ),( f(-1,1,0)=(0,-1/3,1/3)+(0,1/3,-1/3) ):} $
e ho quindi verificato che λ=0 è un autovalore.
(b) det[A-λI]= (-λ)*[(1/3 - λ)*(2/3 - λ) - 2/9]=0
(-λ)*(λ^2 - λ)=0
quindi λ=0 con molteplicità 2 e λ=1 con molteplicità 1
se λ=0 $ V0={(2z-y,y,z)}AA y,z in RR $ (trovato prima) e $ dimV0=2 $
se λ=1 $ ( ( -1 , 0 , 0 ),( 1/3 , -2/3 , -2/3 ),( -1/3 , -1/3 , -1/3 ) ) $ che ridotta diventa $ ( ( -1 , 0 , 0 ),( 0 , -2 , -2 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
quindi $ { ( x=0 ),( y=-z ):} $ e $ V1={(0,y,-y)}AA y in RR $ e $ dimV1=1 $
quindi f è semplice e $ D=( ( 1 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
(c) $ ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1/3 , 1/3 , -2/3 ),( -1/3 , -1/3 , 2/3 ) )( ( 1 ),( 2 ),( 3 ) )=( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $
Grazie ancora a tutti!
chiedo scusa se non sono riuscita a scrivere tutto correttamente, ma devo ancora capire un po' di cose su come si scrivono le formule..
Risposte
[mod="cirasa"]Ti dispiace togliere queste grosse immagini? Rallentano in maniera spaventosa il caricamento della pagina.
Il mio consiglio è postare un esercizio alla volta in thread diversi con la tua risoluzione scritta con il linguaggio appropriato delle formule (clic).
Evita anche la scritta in maiuscolo nel titolo (vedi regolamento).
Naturalmente benvenuto/a nel forum e buona permanenza
[/mod]
Il mio consiglio è postare un esercizio alla volta in thread diversi con la tua risoluzione scritta con il linguaggio appropriato delle formule (clic).
Evita anche la scritta in maiuscolo nel titolo (vedi regolamento).
Naturalmente benvenuto/a nel forum e buona permanenza
[/mod]
non c'è nessuno che sa dirmi se il mio ragionamento è corretto o no?? vi prego è davvero importante!!
esercizi di questo genere non mi sono capitati ma posso dirti che il punto a penso sia giusto...il b non saprei perchè non so la definizione di semplice...non l'ho mai incontrata nella teoria...la moltiplicazione del punto c è giusta...
grazie...il problema per me era il proprio il punto A in cui non sapevo se avevo scritto una cavolata o no.
il B come procedimento è giusto, al massimo posso aver fatto qualche errore di calcolo. semplice vuol dire che è diagonalizzabile.
comunque se dici che il punto A è giusto mi togli un grandissimo dubbio
grazie ciao
il B come procedimento è giusto, al massimo posso aver fatto qualche errore di calcolo. semplice vuol dire che è diagonalizzabile.
comunque se dici che il punto A è giusto mi togli un grandissimo dubbio
grazie ciao
"fra e ste":
e quindi la matrice diventa $ M = ( ( 0 , 0 , 0 ),( 1/3 , 1/3 , -2/3 ),( -1/3 , -1/3 , 2/3 ) ) $
(a) Impongo che λ=0 sia autovalore[...]
una volta che hai calcolato la matrice M,per verificare che $lambda=0$ è autovalore di f ti basta calcolare det(M).
infatti il det è uguale al prodotto degli autovalori e quindi se det(M)=0 (ed è proprio cosi nel tuo caso!!) allora sicuramente $lambda=0$ è un autovalore di M.
(ti risparmi un sacco di calcoli "inutili")
grazie!!! ..questa regola la prof non ce l'aveva detta e ho dovuto fare tutti quei giri.. comunque sarà utile per l'orale , se mi chiede di trovare un metodo alternativo di risoluzione...ciao
, se mi chiede di trovare un metodo alternativo di risoluzione...ciao
allora aggiungiamoci pure che la traccia della matrice è uguale alla somma degli autovalori.
ciao
ciao
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