Aiuto: Teorema del completamento di una base
Ciao a tutti, ho una domanda da fare:
Teorema del completamento:
Sia $B={v_1,...,v_n}$ una base di uno spazio vettoriale $V$ e siano $w_1,...,w_p \in V:p<=n$ vettori linearmente indipendenti.
Allora esistono $n-p$ vettori di $B$ che assieme a $w_1,...,w_p$ formano una base di $V$.
Domande:
Se i vettori di $B$ sono lin. ind. come è possibile che pure i $w_1,...,w_p$ lo siano? Mi sono forse costruito un insieme $W={w_1,...,w_p}\subV $ (dal quale ho escluso i $ {v_1,...,v_n}$) apposito, ad hoc in modo che siano lin ind? Pero' per quanto i vettori di $W$ possano essere lin ind c'è sempre da tenere conto del fatto che fanno parte di $V$ che a sua volta è generato da $B$. Questo rende $w_1,...,w_p$ generati da $B$. Se $B$ è una base di $V$ allora è anche il sistema massimale linearmente indipendente appartenente a $V$.
[...]
Dopo il mio sproloqui.. forse ora la vedo in modo diverso:
La posso vedere così: "Se $w_1,...,w_p$ sono linearmente indipendenti ma non sono sufficienti a generare $V$ puoi sempre recuperare i vettori mancanti da $B$"?
Teorema del completamento:
Sia $B={v_1,...,v_n}$ una base di uno spazio vettoriale $V$ e siano $w_1,...,w_p \in V:p<=n$ vettori linearmente indipendenti.
Allora esistono $n-p$ vettori di $B$ che assieme a $w_1,...,w_p$ formano una base di $V$.
Domande:
Se i vettori di $B$ sono lin. ind. come è possibile che pure i $w_1,...,w_p$ lo siano? Mi sono forse costruito un insieme $W={w_1,...,w_p}\subV $ (dal quale ho escluso i $ {v_1,...,v_n}$) apposito, ad hoc in modo che siano lin ind? Pero' per quanto i vettori di $W$ possano essere lin ind c'è sempre da tenere conto del fatto che fanno parte di $V$ che a sua volta è generato da $B$. Questo rende $w_1,...,w_p$ generati da $B$. Se $B$ è una base di $V$ allora è anche il sistema massimale linearmente indipendente appartenente a $V$.
[...]
Dopo il mio sproloqui.. forse ora la vedo in modo diverso:
La posso vedere così: "Se $w_1,...,w_p$ sono linearmente indipendenti ma non sono sufficienti a generare $V$ puoi sempre recuperare i vettori mancanti da $B$"?
Risposte
Il fatto che tu consideri una determinata base composta da n vettori, non ti vieta di considerarne altri p vettori in $V$ che siano linearmente indipendenti. Ti porto un esempio pratico.
Considera $R^2$ spazio vettoriale su $RR$. Una base è ${(1,0),(0,1)}$. Ma quei due vettori non sono gli unici linearmente indipendenti di $RR^2$, ad esempio $(50,0)$ è un vettore linearmente indipendente perchè diverso dal vettore nullo,oppure $(5,0), (0,5)$..e così via.
Il teorema di completamento non dice altro che se ho p vettori, $p<=n$ linearmente indipendenti , posso scegliere in $B$ in maniera opportuna $n-p$ vettori tali che se aggiunti ai p vettori, questi formano una base di $V$.
Esempio : $R^3$ , $B={e_1,e_2,e_3}$ (base canonica).
Se prendo $(2,0,0)$ e $(0,3,0)$ , ho questi due vettori sono lin indipendenti. Per costruire una base, me ne serve un'altro che sia lin ind con questi due, ad esempio, posso prendere $e_3$.
Ho dunque che $B'={(2,0,0),(0,3,0),e_3}$ è una base di $R^3$
Considera $R^2$ spazio vettoriale su $RR$. Una base è ${(1,0),(0,1)}$. Ma quei due vettori non sono gli unici linearmente indipendenti di $RR^2$, ad esempio $(50,0)$ è un vettore linearmente indipendente perchè diverso dal vettore nullo,oppure $(5,0), (0,5)$..e così via.
Il teorema di completamento non dice altro che se ho p vettori, $p<=n$ linearmente indipendenti , posso scegliere in $B$ in maniera opportuna $n-p$ vettori tali che se aggiunti ai p vettori, questi formano una base di $V$.
Esempio : $R^3$ , $B={e_1,e_2,e_3}$ (base canonica).
Se prendo $(2,0,0)$ e $(0,3,0)$ , ho questi due vettori sono lin indipendenti. Per costruire una base, me ne serve un'altro che sia lin ind con questi due, ad esempio, posso prendere $e_3$.
Ho dunque che $B'={(2,0,0),(0,3,0),e_3}$ è una base di $R^3$
e quindi... mi garantisco la possibilita' di costruire una base per ogni spazio vettoriale ? e nel caso di spazi vett. illimitati?
Se $V$ è uno spazio vettoriale finitamente generato di dimensione $n$. Con $B={v_1,..,v_n}$
Il teorema ti permette, dati $w_1,...w_p,$ , $p<=n$ l.ind. Di aggiungere $n-p$ vettori di $B$ ai $w_i$ e formarti una base.
Se $V$ non è finitamente generato, allora non esiste base finita, di conseguenza il teorema, così scritto non continua a valere.
Vale solo per spazi finitamente generati.
Il teorema ti permette, dati $w_1,...w_p,$ , $p<=n$ l.ind. Di aggiungere $n-p$ vettori di $B$ ai $w_i$ e formarti una base.
Se $V$ non è finitamente generato, allora non esiste base finita, di conseguenza il teorema, così scritto non continua a valere.
Vale solo per spazi finitamente generati.
grazie mille!
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