Aiuto su un vero falso
Ciao a tutti mi servirebbe il vostro aiuto per veder se ho fatto bene o meno con questo vero o falso l'esecizio è il seguente
Siano A e B due matrici quadrate di ordine n. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.
• Se AB non `e invertibile allora A^t e B^t hanno rango n.
• Se A è invertibile allora AB ha rango n.
• Se A non è invertibile allora det(AB) = 0.
Per me la prima è falsa perché se il prodotto di due matrici non e invertibile implica che una delle due o entrambe hanno determinante nullo quindi hanno un rango minore di n e dato che il rango della matrice "normale" è uguale a quello della trasposta anche le due trasposte hanno rango minore di n; la seconda è falsa secondo me poiché ci dice che solo A è invertibile e quindi non sapendo nulla su B non possiamo dire che è invertibile la matrice prodotto; la terza invece per me è vera poiché se A non è invertibile implica che il suo determinante è uguale a zero quindi per il teorema di Binet il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei determinanti quindi avremmo questa situazione detA*detB=0*detB=0 . Aspetto una vostra risposta per vedere se ho ragionato nel modo corretto
.
Siano A e B due matrici quadrate di ordine n. Stabilire se le seguenti affermazioni sono vere o false.
• Se AB non `e invertibile allora A^t e B^t hanno rango n.
• Se A è invertibile allora AB ha rango n.
• Se A non è invertibile allora det(AB) = 0.
Per me la prima è falsa perché se il prodotto di due matrici non e invertibile implica che una delle due o entrambe hanno determinante nullo quindi hanno un rango minore di n e dato che il rango della matrice "normale" è uguale a quello della trasposta anche le due trasposte hanno rango minore di n; la seconda è falsa secondo me poiché ci dice che solo A è invertibile e quindi non sapendo nulla su B non possiamo dire che è invertibile la matrice prodotto; la terza invece per me è vera poiché se A non è invertibile implica che il suo determinante è uguale a zero quindi per il teorema di Binet il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei determinanti quindi avremmo questa situazione detA*detB=0*detB=0 . Aspetto una vostra risposta per vedere se ho ragionato nel modo corretto
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Risposte
è corretto
Grazie mille.
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