Aiuto su un esercizio di algebra lineare

Francesco4622
Buonasera ragazzi, sto studiando per l'esame di G&A e sto riscontrando dei problemi con questa tipologia di esercizio.

Scrivere una base di V1 ∩ V2 ed una di V1 + V2 dove:
V1 = {(x1, x2, x3, x4) | x1 + x2 = 0}
V2 = <(1, −1, 3, 0) , (0, 1, 0, 0) , (−1, 1, −3, 1)>

Qualcuno potrebbe spiegarmi come procedere? Grazie mille

Risposte
Quinzio
Trovare la somma di due spazi vettoriali e' piu' semplice e facile che trovare l'intersezione, giusto ?
E' sufficiente (per la somma) fare una matrice con tutti i vettori dei due spazi da sommare, poi semplificare la matrice (ad es. con il procedimento di Gauss) e il gioco e' fatto.
Per $v_1$ lo spazio vettoriale e' quasi immediato da trovare ed e' $$\mathcal{L} ((0,0,1,0), (0,0,0,1))$$.
Allora scriviamo una matrice con questi due vettori e quelli di $v_2$

$( ( 0 , 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , 1 ),( 1, −1, 3, 0 ),( 0, 1, 0, 0 ),( −1, 1, −3, 1) ) $

Semplificare questa matrice con Gauss e' abbastanza ovvio e si arriva velocemente a:

$( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0, 0, 1, 0 ),( 0, 0, 0, 1 ),( 0, 0, 0, 0) ) $

quindi $v_1+v_2$ e' lo spazio completo, quindi $v_1+v_2 \in RR^4$, che e' equivalente a scrivere che
$$v_1+v_2 = \mathcal{L} ( ( 1 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 1 , 0 , 0 ),( 0, 0, 1, 0 ),( 0, 0, 0, 1 ))$$.

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Per l'intersezione $v_1 \cap v_2$ le cose sono piu' complicate, non esiste un metodo diretto, ma esiste questo utile teorema duale, che dice
$ker(v_1+v_2) = ker(v_1) \cap ker(v_2)$
$ker(v_1 \cap v_2) = ker(v_1) + ker(v_2)$,
dove il $ker(v)$ e' il kernel di $v$, ossia lo spazio nullo di $v$.
Queste due fomuline ci pemettono di scambiare una operazione di intersezione con una di somma, passando per il kernel.
Siccome abbiamo capito che siamo bravi a sommare gli spazi vettoriali, ed e' relativamente facile, ci mettiamo nelle condizioni di fare una somma, quindi useremo la seconda formulina.
Ovviamente vale $ker(ker(v)) = v$, ovvero il kernel del kernel e' lo spazio stesso.

Ora, siccome $v_1$ ce lo danno come equazione, e' immediato trovare il kernel, ovvero
$$ker(v_1) = \mathcal{L} ((1,-1,0,0))$$

Per trovare il kernel di $v_2$ risolviamo il sistema
$\bb A \bb x = \bb 0$,
dove $\bb A =( ( 1, −1, 3, 0 ),( 0, 1, 0, 0 ),( −1, 1, −3, 1) ) $ (sono i 3 vettori di $v_2$)
Di nuovo, si semplifica la matrice con Gauss, ed e' sufficiente osservarla con attenzione e si arriva immediatamente a
$\bb A =( ( 1, 0, 3, 0 ),( 0, 1, 0, 0 ),( 0, 0, 0, 1) ) $
e dovrebbe essere altrettanto semplice concludere che
$$\mathbb x = ker (v_2) = \mathcal{L} ((3,0,-1,0))$$

Facciamo la somma dei due kernel $ ker(v_1) + ker(v_2)$ e la rappresentiamo come matrice
$\bb B =( (3,0,-1,0), ( 1, -1, 0, 0) ) $

Ora che abbiamo $ ker(v_1) + ker(v_2)$ usiamo l'altra formulina $v = ker(ker(v))$ per trovare $v_1 \cap v_2$, risolvendo il sistema
$\bb B \bb y = \bb 0$
La matrice $\bb B$ e' gia' ridotta, non c'e' bisogno di usare Gauss, e anche qui dovrebbe essere facile ed immediato trovare la soluzione $\bb y$ che e'
$$\mathbf y = ((1,1,3,0), (0,0,0,1))$$ .

Siamo alla fine, ma riassumo quello che stiamo facendo perche' e' facile perdersi.

Vogliamo troviare $v_1 \cap v_2$ e lo stiamo trovando con
$v_1 \cap v_2 = ker(ker(v_1 \cap v_2)) = ker(ker(v_1) + ker(v_2))$,

Abbiamo finito, ovvero $$ v_1 \cap v_2 = \mathcal{L} (\mathbf y) = \mathcal{L} ((1,1,3,0), (0,0,0,1))$$

Francesco4622
Ciao, grazie mille per avermi risposto ed aiutato con l'esercizio.
Avrei però bisogno, sempre se vuoi, di alcune delucidazioni su dei passaggi.

1) La base di v1
2) Non ho capito come hai trovato la x e la y dopo che hai trovato i vettori dalla matrice.

Graziee!!

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