Aiuto su semplice dimostrazione (topologia)

[sismalquadrato]

Salve, cerco un aiuto perché vorrei dimostrare un asserto che mi sembra vero e mi sono costruito nello studio della teoria, cioè:

Dimostrare che la topologia generata da una distanza soddisfa il primo assioma di numerabilità, l’assioma T2 (spazio di Hausdorff), e che le sue successioni convergenti sono di Cauchy.

Il fatto è che non riesco bene a capire come fare, sono cose che ho appena studiato e non padroneggio ancora alla perfezione. Potreste gentilmente aiutarmi ad arrivare a coccnlusione? Vi ringrazio anticipatamente.

[regim]

"sismalquadrato":Salve, cerco un aiuto perché vorrei dimostrare un asserto che mi sembra vero e mi sono costruito nello studio della teoria, cioè:

Dimostrare che la topologia generata da una distanza soddisfa il primo assioma di numerabilità, l’assioma T2 (spazio di Hausdorff), e che le sue successioni convergenti sono di Cauchy.

Il fatto è che non riesco bene a capire come fare, sono cose che ho appena studiato e non padroneggio ancora alla perfezione. Potreste gentilmente aiutarmi ad arrivare a coccnlusione? Vi ringrazio anticipatamente.

1° assioma di numerabilità: In un qualsiasi punto $x_o\in X$ prendi gli intorni $B_n(x_o;1/n)$ con $n\in N$.
T2: Se $x,y\in X$ sono due punti di $X$, se poni $\rho=(d(x,y))/2$, allora $B_1(x;\rho)$ e $B_2(y,\rho)$ sono due aperti disgiunti centrati rispettivamente in $x$ e $y$.
Cauchy : se $x_n$ è una successione convergente ad un punto $x$, considera la seguente disuguaglianza: $d(x_n,x_m)\leq d(x_n,x)+d(x_m,x)$.