Aiuto su esercizio Sfera-Circonferenza
ragazzi, ho questi dati:
sfera: $ x^2+y^2+z^2-2x+2y+4z+5=0 $
piano: $ x=1 $
la circonferenza è data dall'intersezione della sfera e del piano in questione, il raggio $ = 1 $ e il centro = $ (1,-1,-2) $ sono i medesimi per sfera e piano.
l'esercizio mi chiede di trovare un punto generico P appartenente alla circonferenza...
come faccio?
sfera: $ x^2+y^2+z^2-2x+2y+4z+5=0 $
piano: $ x=1 $
la circonferenza è data dall'intersezione della sfera e del piano in questione, il raggio $ = 1 $ e il centro = $ (1,-1,-2) $ sono i medesimi per sfera e piano.
l'esercizio mi chiede di trovare un punto generico P appartenente alla circonferenza...
come faccio?
Risposte
Ciao
allora....
prendi un generico piano $\pi$ che quindi ha equazione $ax+by+cz+d=0$ (equazione generica del piano nello spazio)
poi sai che il piano e la sfera si intersecano, quindi per trovare i punti di intersezione é sufficiente che poni uguali tra loro le due equazioni, quella del piano e quella della sfera:
$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+2y+4z+5=ax+by+cz+d$
ricordiamo peró che sappiamo anche che la circonferenza é data dall'intersezione ha come componente $x=1$ quindi sostituiamolo nell'eguaglianza appena scritta:
$ 1+y^{2}+z^{2}-2+2y+4z+5=a+by+cz+d$
se facciamo un po' di raccoglimenti vari otteniamo:
$y^{2}+z^{2} + (2-b)y+(4-c)z + (-d-a)=0$
che é la classica equazione della circonferenza in forma canonica.
da qui portala nella forma $(y-\alpha)^{2} + (z-\beta)^{2}=r^{2}$
e poi usa i dati che hai relativi al centro della circonferenza e alla lunghezza del raggio.
Se ti serve ulteriore aiuto scrivi pure.
Ciao
allora....
prendi un generico piano $\pi$ che quindi ha equazione $ax+by+cz+d=0$ (equazione generica del piano nello spazio)
poi sai che il piano e la sfera si intersecano, quindi per trovare i punti di intersezione é sufficiente che poni uguali tra loro le due equazioni, quella del piano e quella della sfera:
$ x^{2}+y^{2}+z^{2}-2x+2y+4z+5=ax+by+cz+d$
ricordiamo peró che sappiamo anche che la circonferenza é data dall'intersezione ha come componente $x=1$ quindi sostituiamolo nell'eguaglianza appena scritta:
$ 1+y^{2}+z^{2}-2+2y+4z+5=a+by+cz+d$
se facciamo un po' di raccoglimenti vari otteniamo:
$y^{2}+z^{2} + (2-b)y+(4-c)z + (-d-a)=0$
che é la classica equazione della circonferenza in forma canonica.
da qui portala nella forma $(y-\alpha)^{2} + (z-\beta)^{2}=r^{2}$
e poi usa i dati che hai relativi al centro della circonferenza e alla lunghezza del raggio.
Se ti serve ulteriore aiuto scrivi pure.
Ciao
si adesso ho trovato l'equazione della mia circonferenza, ma per trovare un punto generico appartenente alla circonferenza cosa faccio?
@Summerwind78: non ho mica capito che cosa hai fatto, sai? 
E perchè? Non è che ogni piano interseca una sfera data: il piano $z-5=0$ non interseca la sfera di centro l'origine e raggio 1.
Scusami, ma chi sarebbero $a,b,c,d$ nell'equazione della circonferenza in forma canonica? Sono parametri? Sono quelli del generico piano dello spazio? Non capisco.
@gabrik1: stai cercando un punto che sta sulla circonferenza data, quindi deve verificare le due equazioni, sia quella della sfera sia quella del piano. La seconda ti dice che il tuo punto sarà della forma $(1,s,t)$; ora devi trovare $s$ e $t$ in modo che il punto verifichi l'equazione della sfera. Ovviamente, di punti, su una circonferenza, ce ne sono infiniti quindi puoi scegliere tu come più ti piace un $s$ e trovarti di conseguenza un $t$ buono. Chiaro?
"Summerwind78":
Ciao
allora....
prendi un generico piano $\pi$ che quindi ha equazione $ax+by+cz+d=0$ (equazione generica del piano nello spazio)
poi sai che il piano e la sfera si intersecano
E perchè? Non è che ogni piano interseca una sfera data: il piano $z-5=0$ non interseca la sfera di centro l'origine e raggio 1.
"Summerwind78":
se facciamo un po' di raccoglimenti vari otteniamo:
$y^{2}+z^{2} + (2-b)y+(4-c)z + (-d-a)=0$
che é la classica equazione della circonferenza in forma canonica.
da qui portala nella forma $(y-\alpha)^{2} + (z-\beta)^{2}=r^{2}$
e poi usa i dati che hai relativi al centro della circonferenza e alla lunghezza del raggio.
Scusami, ma chi sarebbero $a,b,c,d$ nell'equazione della circonferenza in forma canonica? Sono parametri? Sono quelli del generico piano dello spazio? Non capisco.
@gabrik1: stai cercando un punto che sta sulla circonferenza data, quindi deve verificare le due equazioni, sia quella della sfera sia quella del piano. La seconda ti dice che il tuo punto sarà della forma $(1,s,t)$; ora devi trovare $s$ e $t$ in modo che il punto verifichi l'equazione della sfera. Ovviamente, di punti, su una circonferenza, ce ne sono infiniti quindi puoi scegliere tu come più ti piace un $s$ e trovarti di conseguenza un $t$ buono. Chiaro?
@Paolo90: Magari mi sbaglio... 
Ma dato che il piano deve intersecare la sfera, significa che i punto della sfera devono soddisfare l'equazione del piano.
è vero che esiste più di un piano che interseca la sfera, ma sapendo che ha la componente lungo l'asse $x=1$, sapendo il raggio e il centro trovi i parametri che definiscono il piano partendo dall'equazione generica del piano.
i valori $a, b, c e d$ non sono altro che i coefficienti numerici dell'equazione generica del piano.
Spero di essermi spiegato...
Dici che il mio ragionamento è sbagliato?
Ma dato che il piano deve intersecare la sfera, significa che i punto della sfera devono soddisfare l'equazione del piano.
è vero che esiste più di un piano che interseca la sfera, ma sapendo che ha la componente lungo l'asse $x=1$, sapendo il raggio e il centro trovi i parametri che definiscono il piano partendo dall'equazione generica del piano.
i valori $a, b, c e d$ non sono altro che i coefficienti numerici dell'equazione generica del piano.
Spero di essermi spiegato...
Dici che il mio ragionamento è sbagliato?
"Summerwind78":
@Paolo90: Magari mi sbaglio...
Ma dato che il piano deve intersecare la sfera, significa che i punto della sfera devono soddisfare l'equazione del piano.
è vero che esiste più di un piano che interseca la sfera, ma sapendo che ha la componente lungo l'asse $x=1$, sapendo il raggio e il centro trovi i parametri che definiscono il piano partendo dall'equazione generica del piano.
[...]
Dici che il mio ragionamento è sbagliato?
Eh, sì. Ti sei incasinato da solo
Guarda che $x=1$ è già un piano, non è solo la "componente" lungo l'asse... che cosa intendi dire con questo? Un piano non ha componenti.
Voglio dire, l'esercizio proposto è semplice: la circonferenza ce l'hai già pronta e confezionata, sfera + piano che si intersecano; si tratta solo di scegliere un punto che verifichi entrambe le equazioni. Hai capito?
Eh si...
mi sa che ho detto una cretinata colossale!!!
@Gabrik1: chiedo venia!!! Nel volerti aiutare ho creato più confusione di prima!!!
Da stasera mi do al cucito!!!
mi sa che ho detto una cretinata colossale!!!
@Gabrik1: chiedo venia!!! Nel volerti aiutare ho creato più confusione di prima!!!
Da stasera mi do al cucito!!!
Ma dai tranquillo, capita a tutti (sapessi quante ne sparo anche io... )
L'importante è riconoscere i propri errori e imparare da quelli (almeno così la penso io).
gabrik1, è tutto chiaro?
Se hai dubbi facci sapere.
)L'importante è riconoscere i propri errori e imparare da quelli (almeno così la penso io).
gabrik1, è tutto chiaro?
Se hai dubbi facci sapere.
Summerwind sei scusato
quindi alla fine devo solo trovare una s e una t in modo che mi verifichino entrambe le equazioni?
si tratta in pratica di provare provare e riprovare...
grazie mille ad entrambi cmq per aver perso del tempo per me
alla prossima
quindi alla fine devo solo trovare una s e una t in modo che mi verifichino entrambe le equazioni?
si tratta in pratica di provare provare e riprovare...
grazie mille ad entrambi cmq per aver perso del tempo per me
alla prossima
Sì, esatto. Devi trovare $s$ e $t$ che vadano bene; se non li vedi ad occhio, puoi comunque usare qualche accorgimento, tipo scrivere l'equazione della sfera in forma canonica, oppure sostituire dentro l'equazione della sfera $x=1$ e risolvere di conseguenza l'equazione di secondo grado in $y$ e $z$ che rimane (una volta che trovi ad esempio $y$ in funzione di $z$, scegli un valore di $z$ e trovi il valore di $y$).
Ok?
P.S. Niente tempo perso, tranquillo.
Ok?
P.S. Niente tempo perso, tranquillo.
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