Aiuto su basi, sottospazi e somma di sottospazi
Ciao a tutti. Vorrei capire la teoria dietro un esercizio svolto.
In $R^4$ abbiamo quattro vettori
$u_1 = (1,0,1,0), u_2 = (0,1,0,,0), u_3 = (1,1,1,0), u_4 = (0,1,1,0)$
Siano $U = < u_1, u_2, u_3 >$ e $V =$
Nella prima parte mi chiede di determinare la $dim(U+V)$ e una sua base.
Nello svolgimento mi dice "Osserviamo che $u_1$ e $u_2$ sono linearmente indipendenti, in quanto non proporzionali, e quindi sono una base per $U$. Analogamente $u_3$ e $u_4$ sono linearmente indipendenti e quindi sono una base per $V$."
Ma non capisco qual è il ragionamento che mi porta a trovare quelle basi. So che i vettori di una base sono linearmente indipendenti. Ma perché per trovare una base di V considera $u_3$ e $u_4$? La dicitura $$ non indica che $u_2, u_3$ è un sistema di generatori per $V$? E la base di $V$ non devo cercarla tra i suoi vettori, e quindi proprio tra $u_2, u_3$?
Qual è il procedimento per trovare una base di un sottospazio come U e V? Ricordando la teoria, mi viene in mente che una base di un sottospazio è un particolare tipo di sistema di generatori di quel sottospazio. Allora per avere una base devo trovare un sistema di generatori del sottospazio e da qui estrarne una base. Ma come ha stabilito che $u_3$,$u_4$ è un sistema di generatori? E perché ha scelto proprio quei due?
In $R^4$ abbiamo quattro vettori
$u_1 = (1,0,1,0), u_2 = (0,1,0,,0), u_3 = (1,1,1,0), u_4 = (0,1,1,0)$
Siano $U = < u_1, u_2, u_3 >$ e $V =
Nella prima parte mi chiede di determinare la $dim(U+V)$ e una sua base.
Nello svolgimento mi dice "Osserviamo che $u_1$ e $u_2$ sono linearmente indipendenti, in quanto non proporzionali, e quindi sono una base per $U$. Analogamente $u_3$ e $u_4$ sono linearmente indipendenti e quindi sono una base per $V$."
Ma non capisco qual è il ragionamento che mi porta a trovare quelle basi. So che i vettori di una base sono linearmente indipendenti. Ma perché per trovare una base di V considera $u_3$ e $u_4$? La dicitura $
Qual è il procedimento per trovare una base di un sottospazio come U e V? Ricordando la teoria, mi viene in mente che una base di un sottospazio è un particolare tipo di sistema di generatori di quel sottospazio. Allora per avere una base devo trovare un sistema di generatori del sottospazio e da qui estrarne una base. Ma come ha stabilito che $u_3$,$u_4$ è un sistema di generatori? E perché ha scelto proprio quei due?
Risposte
Scusate forse ho scritto troppe domande.
Facciamo così, vorrei capire, in quell'esercizio, come trovo una base per il sottospazio $V$. Non so se mi sono rincretinito tutto d'un tratto, ma non capisco perchè svolge l'esercizio in quel modo, e sono due giorni che cerco su internet per cercare di capire cosa non ho capito!
Facciamo così, vorrei capire, in quell'esercizio, come trovo una base per il sottospazio $V$. Non so se mi sono rincretinito tutto d'un tratto, ma non capisco perchè svolge l'esercizio in quel modo, e sono due giorni che cerco su internet per cercare di capire cosa non ho capito!
Testuali parole... non li ho presi a lezione, sono scritti direttamente dal professore, e gli altri sono molto simili. In effetti non mi sto trovando bene con questa parte di algebra lineare e mi è venuto anche il dubbio che il materiale su cui mi sto preparando non sia dei migliori, ma mi stavo prendendo la responsabilità della mia mancanza di comprensione. Il problema è che quando non riesco a fare una cosa non vado avandti e mi salta il programma di studi. Ho già perso una settimana e ora ho anche poco tempo. Io non studio matematica ma ingegneria, e algebra lineare non è un esame a sè ma una parte di matematica 1... forse da qui il materiale un po' striminzito.
Ora ho dato un occhiata alle prove d'esame (svolte) che volevo conservare per l'ultima settimana prima dell'esame scritto e mi sembrano fatte meglio. Magari per gli esercizi farò riferimento a quelle (anche se non coprono tutto il corso). Lei ha qualche eserciziario da consigliarmi?
La parte scritta non verterà di sicuro su tutti gli argomenti. Un esempio di tema è:
- esercizi sui sottospazi (calcolo dimensione e base di somma e intersezione, rappresentazione cartesiana)
- esercizi sugli endomorfismi (calcolo dimensione e base ortonormale, rappresentazione cartesiana e componenti)
- risoluzione di un sistema lineare, diagonalizzazione e calcolo di basi
Il programma completo è questo:
MATRICI E SISTEMI LINEARI: MATRICI E DETERMINANTI. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI: TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI E DI CRAMER.
SPAZI VETTORIALI: LA STRUTTURA DI SPAZIO VETTORIALE. DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE. TEOREMA DELLA BASE. SOTTOSPAZI VETTORIALI. INTERSEZIONE E SOMMA DI SOTTOSPAZI, SOMMA DIRETTA. PRODOTTO SCALARE. SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO REALE. NORMA. DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY–SCHWARZ. ANGOLO. VETTORI ORTOGONALI. BASI ORTONORMALI. COMPONENTI IN UNA BASE ORTONORMALE. PROIEZIONI ORTOGONALI. PROCEDIMENTO DI GRAM-SCHMIDT. TRASFORMAZIONI LINEARI E DIAGONALIZZAZIONE: DEFINIZIONI. NUCLEO E IMMAGINE. PROPRIETÀ E CARATTERIZZAZIONI. TEOREMA DELLA DIMENSIONE. RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE. POLINOMIO CARATTERISTICO. AUTOSPAZI. MOLTEPLICITÀ ALGEBRICA E GEOMETRICA. DIAGONALIZZAZIONE: DEFINIZIONE E CARATTERIZZAZIONI. CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA DIAGONALIZZAZIONE. DIAGONALIZZAZIONE ORTOGONALE. TEOREMA SPETTRALE.
GEOMETRIA ANALITICA: SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO NEL PIANO. EQUAZIONE DELLA RETTA: IMPLICITA, ESPLICITA E SEGMENTARIA. PARALLELISMO DI RETTE. FASCIO PROPRIO E IMPROPRIO DI RETTE. RETTA PER UN PUNTO. RETTA PASSANTE PER UN PUNTO E PARALLELA AD UNA RETTA DATA. CONDIZIONI DI PERPENDICOLARITÀ DI DUE RETTE. CONICHE. ALGORITMO DI RIDUZIONE A FORMA CANONICA. COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO. EQUAZIONE DEL PIANO: PARAMETRICA E CARTESIANA. EQUAZIONE DELLA RETTA: PARAMETRICA, CARTESIANA, SIMMETRICA. FASCI DI PIANI E STELLE DI PIANI. CONDIZIONI DI PARALLELISMO E PERPENDICOLARITÀ RETTE-RETTE, RETTE-PIANI, PIANI-PIANI.
Avevo un mese per studiare la parte di algebra lineare + altri dieci giorni calcolati per rivedere tutto... ma sono arrivato appena alla somma di sottospazi e mancano in totale una ventina di giorni. Dovrei preparami magari solo (o almeno meglio) per lo scritto velocizzando lo studio della parte teorica come vedo fare a molti... ma è una cosa che non mi garb poi tanto.
Ora ho dato un occhiata alle prove d'esame (svolte) che volevo conservare per l'ultima settimana prima dell'esame scritto e mi sembrano fatte meglio. Magari per gli esercizi farò riferimento a quelle (anche se non coprono tutto il corso). Lei ha qualche eserciziario da consigliarmi?
La parte scritta non verterà di sicuro su tutti gli argomenti. Un esempio di tema è:
- esercizi sui sottospazi (calcolo dimensione e base di somma e intersezione, rappresentazione cartesiana)
- esercizi sugli endomorfismi (calcolo dimensione e base ortonormale, rappresentazione cartesiana e componenti)
- risoluzione di un sistema lineare, diagonalizzazione e calcolo di basi
Il programma completo è questo:
MATRICI E SISTEMI LINEARI: MATRICI E DETERMINANTI. RISOLUZIONE DI SISTEMI LINEARI: TEOREMA DI ROUCHÉ-CAPELLI E DI CRAMER.
SPAZI VETTORIALI: LA STRUTTURA DI SPAZIO VETTORIALE. DIPENDENZA E INDIPENDENZA LINEARE. TEOREMA DELLA BASE. SOTTOSPAZI VETTORIALI. INTERSEZIONE E SOMMA DI SOTTOSPAZI, SOMMA DIRETTA. PRODOTTO SCALARE. SPAZIO VETTORIALE EUCLIDEO REALE. NORMA. DISUGUAGLIANZA DI CAUCHY–SCHWARZ. ANGOLO. VETTORI ORTOGONALI. BASI ORTONORMALI. COMPONENTI IN UNA BASE ORTONORMALE. PROIEZIONI ORTOGONALI. PROCEDIMENTO DI GRAM-SCHMIDT. TRASFORMAZIONI LINEARI E DIAGONALIZZAZIONE: DEFINIZIONI. NUCLEO E IMMAGINE. PROPRIETÀ E CARATTERIZZAZIONI. TEOREMA DELLA DIMENSIONE. RAPPRESENTAZIONE MATRICIALE. POLINOMIO CARATTERISTICO. AUTOSPAZI. MOLTEPLICITÀ ALGEBRICA E GEOMETRICA. DIAGONALIZZAZIONE: DEFINIZIONE E CARATTERIZZAZIONI. CONDIZIONE SUFFICIENTE PER LA DIAGONALIZZAZIONE. DIAGONALIZZAZIONE ORTOGONALE. TEOREMA SPETTRALE.
GEOMETRIA ANALITICA: SISTEMA DI RIFERIMENTO CARTESIANO NEL PIANO. EQUAZIONE DELLA RETTA: IMPLICITA, ESPLICITA E SEGMENTARIA. PARALLELISMO DI RETTE. FASCIO PROPRIO E IMPROPRIO DI RETTE. RETTA PER UN PUNTO. RETTA PASSANTE PER UN PUNTO E PARALLELA AD UNA RETTA DATA. CONDIZIONI DI PERPENDICOLARITÀ DI DUE RETTE. CONICHE. ALGORITMO DI RIDUZIONE A FORMA CANONICA. COORDINATE CARTESIANE NELLO SPAZIO. EQUAZIONE DEL PIANO: PARAMETRICA E CARTESIANA. EQUAZIONE DELLA RETTA: PARAMETRICA, CARTESIANA, SIMMETRICA. FASCI DI PIANI E STELLE DI PIANI. CONDIZIONI DI PARALLELISMO E PERPENDICOLARITÀ RETTE-RETTE, RETTE-PIANI, PIANI-PIANI.
Avevo un mese per studiare la parte di algebra lineare + altri dieci giorni calcolati per rivedere tutto... ma sono arrivato appena alla somma di sottospazi e mancano in totale una ventina di giorni. Dovrei preparami magari solo (o almeno meglio) per lo scritto velocizzando lo studio della parte teorica come vedo fare a molti... ma è una cosa che non mi garb poi tanto.
Ah posto una definizione per evitare incomprensioni (magari a volte si usano diciture diverse per alcuni argomenti):
"Se $v_1...v_r$ sono vettori di $V$, l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di tali vettori costituisce un sottospazio vettoriale detto sottospazio generato da $v_1...v_r$ e indicato con $$."
Per chiarire cosa indicava l'esercizio con la dicitura dei vettori tra i simboli $<>$
"Se $v_1...v_r$ sono vettori di $V$, l'insieme di tutte le possibili combinazioni lineari di tali vettori costituisce un sottospazio vettoriale detto sottospazio generato da $v_1...v_r$ e indicato con $
Per chiarire cosa indicava l'esercizio con la dicitura dei vettori tra i simboli $<>$
Prima di quell'esercizio ce n'è uno con gli stessi dati ma riguardo l'intersezione dei due spazi. eccolo:
In $R^4$ abbiamo quattro vettori
$u_1 = (1,0,1,0), u_2 = (0,1,0,,0), u_3 = (1,1,1,0), u_4 = (0,1,1,0)$
Posto $U = < u_1, u_2, u_3 >$ e $V =$
determinare $U$ $nn$ $V$ ed una sua base.
Svolgimento:
Dalla relazione di Grasman abbiamo
dimU+V = dimU +dimV + dimU$nn$V
da cui dimU$nn$V=2+2-3=1 . Un vettore che appartiene a dimU$nn$V deve essere esprimibile sia come combinazione lineare dei vettori di una base di $U$ sia come combinazione lineare di una base di , ovvero deve soddisfare l'uguaglianza...
e poi mi continua lo svolgimento. Ora, essendo che non capivo come aveva calcolato i dati da inserire nella relazione di grasman sono andato a vedere qualche altro esercizio svolto successivo, e ho trovato quello... poi ho cercato su internet, e anzichè schiarirmi le idee, lo svolgimento dell'esercizio mi è sembrato ancora più incomprensibile! Perchè non riesco a capire cosa fa e perchè lo fa.
In $R^4$ abbiamo quattro vettori
$u_1 = (1,0,1,0), u_2 = (0,1,0,,0), u_3 = (1,1,1,0), u_4 = (0,1,1,0)$
Posto $U = < u_1, u_2, u_3 >$ e $V =
determinare $U$ $nn$ $V$ ed una sua base.
Svolgimento:
Dalla relazione di Grasman abbiamo
dimU+V = dimU +dimV + dimU$nn$V
da cui dimU$nn$V=2+2-3=1 . Un vettore che appartiene a dimU$nn$V deve essere esprimibile sia come combinazione lineare dei vettori di una base di $U$ sia come combinazione lineare di una base di , ovvero deve soddisfare l'uguaglianza...
e poi mi continua lo svolgimento. Ora, essendo che non capivo come aveva calcolato i dati da inserire nella relazione di grasman sono andato a vedere qualche altro esercizio svolto successivo, e ho trovato quello... poi ho cercato su internet, e anzichè schiarirmi le idee, lo svolgimento dell'esercizio mi è sembrato ancora più incomprensibile! Perchè non riesco a capire cosa fa e perchè lo fa.
Grazie mille per il (tuo 
) consiglio. Ora vedo di èrocurarmelo
) consiglio. Ora vedo di èrocurarmelo
Allora si trattava proprio di un errore dell'esercizio! Mi era venuto il dubbio... guardavo la teoria, guardavo l'esercizio e dicevo "ma perchè scrive $$ e poi usa $$?" stavo impazzendo appresso alle u. Il fatto è che non posso pensare subito che è sbagliato lo svolgimento quando non so fare una cosa. Vabbè, meglio tardi che mai... magari avrei perso un altro paio di giorni per poi di far volare il notebook dal quarto piano 
. grazie $oo$!
. grazie $oo$!
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