Aiuto su Autospazi Generalizzati
Teorema:
Sia $T:E->E$ un operatore lineare limitato, E uno spazio vettoriale normato complesso tc $dim(E)=n<+\infty$
siano $\lambda_k$ con $k=1..r$ i suoi autovalori con le molteplicità algebriche $n_k$ e gli $E_k={x\inE\ |\ (T-\lambda_k Id)^{n_k} x=0}$ i rispettivi autospazi generalizzati
Allora:
(i) $E=E_1\oplusE_2\oplus....\oplusE_r$
(ii)$dim(E_k)=n_k$
(iii)gli $E_k$ sono T-invarianti
Qualcuno può aiutarmi a dimostrarlo? Sono riuscito a trovare questo teorema su un solo libro di quelli che ho sfogliato e lo dimostra in un modo a me incomprensibile...
La (iii) è banale, sono le altre 2 che mi preoccupano...
Sia $T:E->E$ un operatore lineare limitato, E uno spazio vettoriale normato complesso tc $dim(E)=n<+\infty$
siano $\lambda_k$ con $k=1..r$ i suoi autovalori con le molteplicità algebriche $n_k$ e gli $E_k={x\inE\ |\ (T-\lambda_k Id)^{n_k} x=0}$ i rispettivi autospazi generalizzati
Allora:
(i) $E=E_1\oplusE_2\oplus....\oplusE_r$
(ii)$dim(E_k)=n_k$
(iii)gli $E_k$ sono T-invarianti
Qualcuno può aiutarmi a dimostrarlo? Sono riuscito a trovare questo teorema su un solo libro di quelli che ho sfogliato e lo dimostra in un modo a me incomprensibile...
La (iii) è banale, sono le altre 2 che mi preoccupano...
Risposte
ok sono arrivato ad un punto che se qualcuno mi spiega come provare la (ii) ho finito.
E' un pò lungo preferirei non scrivere tutto ma se qualcuno vuole cercherò di mettere tutto in ordine per iscritto
E' un pò lungo preferirei non scrivere tutto ma se qualcuno vuole cercherò di mettere tutto in ordine per iscritto
Butto là un'idea (devi aver fatto la forma canonica di Jordan in algebra lineare):
Esiste una base in cui l'operatore ha la forma canonica di Jordan $( (J(lambda_1),0,...,0),(0,J(lambda_2),...,0),(0,0,...,0),(0,0,...,J(lambda_s)) )$ dove i $lambda_i$ sono tutti autovalori, non necessariamente distinti fra di loro. Quando fai $T-lambda_i$ tutti i blocchi di Jordan relativi all'autovalore $lambda_i$ perdono l'elemento sulla diagonale, ed elevando alla $n_i$ tutti questi blocchi "scompaiono", il caso limite è un unico blocco di Jordan di lato $n_i$ che se ne va comunque. Il rango della matrice è determinato dai blocchi restanti che sono tutti quelli relativi ad autovalori diversi da $lambda_i$ che non perdono gli elementi sulla diagonale, ogni autovalore compare sulla diagonale tante volte quant'è la sua molteplicità quindi il rango è $"dim"E-sum_{lambda_j!=lambda_i} n_j=n-n_i$ ed il ker di $(T-lambda_i)^(n_i)$ ha dimensione $n_i$.
Spero sia d'aiuto, ciao
Esiste una base in cui l'operatore ha la forma canonica di Jordan $( (J(lambda_1),0,...,0),(0,J(lambda_2),...,0),(0,0,...,0),(0,0,...,J(lambda_s)) )$ dove i $lambda_i$ sono tutti autovalori, non necessariamente distinti fra di loro. Quando fai $T-lambda_i$ tutti i blocchi di Jordan relativi all'autovalore $lambda_i$ perdono l'elemento sulla diagonale, ed elevando alla $n_i$ tutti questi blocchi "scompaiono", il caso limite è un unico blocco di Jordan di lato $n_i$ che se ne va comunque. Il rango della matrice è determinato dai blocchi restanti che sono tutti quelli relativi ad autovalori diversi da $lambda_i$ che non perdono gli elementi sulla diagonale, ogni autovalore compare sulla diagonale tante volte quant'è la sua molteplicità quindi il rango è $"dim"E-sum_{lambda_j!=lambda_i} n_j=n-n_i$ ed il ker di $(T-lambda_i)^(n_i)$ ha dimensione $n_i$.
Spero sia d'aiuto, ciao
Eh purtroppo però questo teorema serve proprio per arrivare a Jordan!
"Fox":
Eh purtroppo però questo teorema serve proprio per arrivare a Jordan!
non lo sapevo
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